3. Имеются три единичных вектора АВ, АС, ВС, угол между каждой парой из которых составляет 60°. В данном базисе

Для решения данной задачи нам необходимо найти единичный вектор ДЕ, который образует одинаковый угол со всеми векторами АВ, АС и ВС.

Итак, чтобы найти такой вектор, мы можем воспользоваться геометрическим подходом. Давайте последовательно рассмотрим все возможные варианты.

Вариант 1: Вектор ДЕ параллелен вектору АВ.
Если вектор ДЕ параллелен вектору АВ, то он будет направлен в том же направлении. Рассмотрим треугольник АВЕ, где Е - середина отрезка АВ. Угол ВАЕ будет равен 90 градусов, так как АВ - единичный вектор. Также, угол ВЕА равен 60 градусов, так как у нас есть информация о угле между векторами. Таким образом, получаем, что угол ВЕА равен 60 градусов, а угол ЕВА равен 30 градусов. Так как вектор ДЕ параллелен вектору АВ, то угол ДЕА также будет равен 30 градусов. Следовательно, вариант 1 удовлетворяет условию задачи.

Вариант 2: Вектор ДЕ параллелен вектору АС.
Аналогично предыдущему варианту, мы рассмотрим треугольник АСЕ, где Е - середина отрезка АС. Угол САЕ будет равен 90 градусов, так как АС - единичный вектор. Угол СЕА также равен 60 градусов. Из этого следует, что угол ЕСА равен 30 градусов. Так как вектор ДЕ параллелен вектору АС, то угол ДЕА также будет равен 30 градусов. Значит, и вариант 2 удовлетворяет условию задачи.

Вариант 3: Вектор ДЕ параллелен вектору ВС.
Рассмотрим треугольник ВСЕ, где Е - середина отрезка ВС. Угол СВЕ равен 90 градусов (так как ВС - единичный вектор), а угол СЕВ равен 60 градусов. Отсюда следует, что угол ЕСВ равен 30 градусов. Если вектор ДЕ параллелен вектору ВС, то угол ДЕВ также будет равен 30 градусов, и вариант 3 удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, у нас есть три варианта для единичного вектора ДЕ, который образует одинаковый угол со всеми векторами АВ, АС и ВС:
- ДЕ, параллельный АВ и образующий угол 30 градусов с АВ;
- ДЕ, параллельный АС и образующий угол 30 градусов с АС;
- ДЕ, параллельный ВС и образующий угол 30 градусов с ВС.

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как найти такой вектор.