3.43. Просчитайте третью сторону и площадь треугольника при заданных условиях: 1) сторона а равна 3 см, сторона b равна 8 см, угол ү равен 30°; 2) сторона а равна 6 см, сторона с равна 4 см, угол В равен 60°; 3) сторона b равна 4/3 м, сторона с равна 3/4 м, угол а равен 45°; 4) сторона a равна 0,6 м, сторона b равна 0,8 м.
Arseniy
Для решения этой задачи, мы будем использовать законы геометрии треугольников. Для каждой пары данных величин, нам нужно найти третью сторону и площадь треугольника.
1) В этом случае, у нас есть известные стороны a = 3 см и b = 8 см, а также известный угол γ = 30°.
Для нахождения третьей стороны ищем сторону c по формуле косинусов:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma}\]
\[c = \sqrt{3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 30°}\]
Мы можем вычислить значение выражения под корнем:
\[c = \sqrt{9 + 64 - 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\]
\[c = \sqrt{73 - 24\sqrt{3}}\]
Получаем третью сторону треугольника.
Для вычисления площади треугольника используем формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin 30°\]
Вычисляем значение синуса 30°:
\[\sin 30° = \frac{1}{2}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}\]
\[S = 6\]
Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{73 - 24\sqrt{3}}\) и площадь треугольника равна 6.
2) В этом случае, у нас есть известные стороны a = 6 см и c = 4 см, а также известный угол В = 60°.
Для нахождения третьей стороны ищем сторону b по формуле косинусов:
\[b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac\cos B}\]
\[b = \sqrt{6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos 60°}\]
Мы можем вычислить значение выражения под корнем:
\[b = \sqrt{36 + 16 - 24}\]
\[b = \sqrt{28}\]
Получаем третью сторону треугольника.
Для вычисления площади треугольника используем формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 60°\]
Вычисляем значение синуса 60°:
\[\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S = 6\sqrt{3}\]
Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{28}\) и площадь треугольника равна \(6\sqrt{3}\).
3) В этом случае, у нас есть известные стороны b = \(\frac{4}{3}\) м и c = \(\frac{3}{4}\) м, а также известный угол a = 45°.
Для нахождения третьей стороны ищем сторону a по формуле косинусов:
\[a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos a}\]
\[a = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos 45°}\]
Мы можем вычислить значение выражения под корнем:
\[a = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{9}{16} - 1}\]
\[a = \sqrt{\frac{256 + 81 - 144}{144}}\]
\[a = \sqrt{\frac{193}{144}}\]
Получаем третью сторону треугольника.
Для вычисления площади треугольника используем формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin a\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \sin 45°\]
Вычисляем значение синуса 45°:
\[\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[S = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]
Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{\frac{193}{144}}\) и площадь треугольника равна \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
4) В этом случае, у нас есть известные стороны a = 0,6 м и b = 0,3 м.
Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона:
\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]
Где \(p\) - полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле:
\[p = \frac{a + b + c}{2}\]
\[p = \frac{0,6 + 0,3 + c}{2}\]
\[p = \frac{0,9 + c}{2}\]
\[2p = 0,9 + c\]
\[c = 2p - 0,9\]
Подставляем это значение \(c\) в формулу площади:
\[S = \sqrt{\left(\frac{0,9 + c}{2}\right)\left(\frac{0,9 + c}{2} - 0,6\right)\left(\frac{0,9 + c}{2} - 0,3\right)\left(\frac{0,9 + c}{2} - c\right)}\]
Упрощаем выражение под корнем:
\[S = \sqrt{\left(\frac{0,9 + c}{2}\right)\left(\frac{0,3 + c}{2}\right)\left(\frac{0,6 + c}{2}\right)}\]
Когда мы подставим \(c = 2p - 0,9\), получим:
\[S = \sqrt{\left(\frac{0,9 + 2p - 0,9}{2}\right)\left(\frac{0,3 + 2p - 0,9}{2}\right)\left(\frac{0,6 + 2p - 0,9}{2}\right)}\]
\[S = \sqrt{\left(\frac{2p}{2}\right)\left(\frac{2p - 0,6}{2}\right)\left(\frac{2p - 0,3}{2}\right)}\]
\[S = \sqrt{p(p - 0,6)(p - 0,3)(p - (2p - 0,9))}\]
\[S = \sqrt{p(p - 0,6)(p - 0,3)(0,9 - p)}\]
Таким образом, площадь треугольника будет равна \(\sqrt{p(p - 0,6)(p - 0,3)(0,9 - p)}\), где \(p = \frac{0,9 + c}{2}\).
1) В этом случае, у нас есть известные стороны a = 3 см и b = 8 см, а также известный угол γ = 30°.
Для нахождения третьей стороны ищем сторону c по формуле косинусов:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma}\]
\[c = \sqrt{3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 30°}\]
Мы можем вычислить значение выражения под корнем:
\[c = \sqrt{9 + 64 - 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\]
\[c = \sqrt{73 - 24\sqrt{3}}\]
Получаем третью сторону треугольника.
Для вычисления площади треугольника используем формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin 30°\]
Вычисляем значение синуса 30°:
\[\sin 30° = \frac{1}{2}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}\]
\[S = 6\]
Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{73 - 24\sqrt{3}}\) и площадь треугольника равна 6.
2) В этом случае, у нас есть известные стороны a = 6 см и c = 4 см, а также известный угол В = 60°.
Для нахождения третьей стороны ищем сторону b по формуле косинусов:
\[b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac\cos B}\]
\[b = \sqrt{6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos 60°}\]
Мы можем вычислить значение выражения под корнем:
\[b = \sqrt{36 + 16 - 24}\]
\[b = \sqrt{28}\]
Получаем третью сторону треугольника.
Для вычисления площади треугольника используем формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 60°\]
Вычисляем значение синуса 60°:
\[\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S = 6\sqrt{3}\]
Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{28}\) и площадь треугольника равна \(6\sqrt{3}\).
3) В этом случае, у нас есть известные стороны b = \(\frac{4}{3}\) м и c = \(\frac{3}{4}\) м, а также известный угол a = 45°.
Для нахождения третьей стороны ищем сторону a по формуле косинусов:
\[a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos a}\]
\[a = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos 45°}\]
Мы можем вычислить значение выражения под корнем:
\[a = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{9}{16} - 1}\]
\[a = \sqrt{\frac{256 + 81 - 144}{144}}\]
\[a = \sqrt{\frac{193}{144}}\]
Получаем третью сторону треугольника.
Для вычисления площади треугольника используем формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin a\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \sin 45°\]
Вычисляем значение синуса 45°:
\[\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[S = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]
Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{\frac{193}{144}}\) и площадь треугольника равна \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
4) В этом случае, у нас есть известные стороны a = 0,6 м и b = 0,3 м.
Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона:
\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]
Где \(p\) - полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле:
\[p = \frac{a + b + c}{2}\]
\[p = \frac{0,6 + 0,3 + c}{2}\]
\[p = \frac{0,9 + c}{2}\]
\[2p = 0,9 + c\]
\[c = 2p - 0,9\]
Подставляем это значение \(c\) в формулу площади:
\[S = \sqrt{\left(\frac{0,9 + c}{2}\right)\left(\frac{0,9 + c}{2} - 0,6\right)\left(\frac{0,9 + c}{2} - 0,3\right)\left(\frac{0,9 + c}{2} - c\right)}\]
Упрощаем выражение под корнем:
\[S = \sqrt{\left(\frac{0,9 + c}{2}\right)\left(\frac{0,3 + c}{2}\right)\left(\frac{0,6 + c}{2}\right)}\]
Когда мы подставим \(c = 2p - 0,9\), получим:
\[S = \sqrt{\left(\frac{0,9 + 2p - 0,9}{2}\right)\left(\frac{0,3 + 2p - 0,9}{2}\right)\left(\frac{0,6 + 2p - 0,9}{2}\right)}\]
\[S = \sqrt{\left(\frac{2p}{2}\right)\left(\frac{2p - 0,6}{2}\right)\left(\frac{2p - 0,3}{2}\right)}\]
\[S = \sqrt{p(p - 0,6)(p - 0,3)(p - (2p - 0,9))}\]
\[S = \sqrt{p(p - 0,6)(p - 0,3)(0,9 - p)}\]
Таким образом, площадь треугольника будет равна \(\sqrt{p(p - 0,6)(p - 0,3)(0,9 - p)}\), где \(p = \frac{0,9 + c}{2}\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
