256. Каковы значения высоты АН и СК в треугольнике ABC, если он остроугольный и угол между ними составляет 60° и высота

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся свойствами остроугольного треугольника.

Для начала, обозначим вершины треугольника ABC следующим образом: точка A - вершина противоположная стороне BC, точка B - вершина противоположная стороне AC, точка C - вершина противоположная стороне AB.

Также, обозначим высоты треугольника следующим образом: точка H - основание высоты из вершины A, точка K - основание высоты из вершины C.

Из условия задачи известно, что угол АНС равен 60°, высота АН равна 1 дм.

Теперь мы можем воспользоваться свойством остроугольного треугольника, согласно которому точка пересечения высот треугольника делит их на отрезки, пропорциональные длинам этой высоты.

То есть, мы можем записать следующее соотношение:

\(\frac{AH}{HC} = \frac{AN}{NK}\)

Поскольку высота АН равна 1 дм, мы можем записать:

\(\frac{1}{HC} = \frac{1}{NK}\)

Теперь попробуем найти значение высоты СК. Для этого нужно найти значение отрезка NK.

Для этого рассмотрим треугольник CNK. У него есть прямой угол в вершине С и прилежащий к нему угол в вершине К. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Так как треугольник CNK остроугольный, то угол в вершине К меньше 90°.

Угол АНС равен 60°, следовательно, угол СNK равен 90° - 60° = 30°.

Также, мы знаем, что сумма углов треугольника CNK равна 180°, поэтому угол в вершине N равен 180° - 90° - 30° = 60°.

Теперь мы можем воспользоваться trigonometric соотношением синуса для треугольника CNK:

\(\frac{NK}{CK} = \sin(60°)\)

Так как мы знаем, что синус 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем записать:

\(\frac{NK}{CK} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Обратимся к соотношению \(\frac{1}{HC} = \frac{1}{NK}\). Подставим в него значение \(\frac{NK}{CK} = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(\frac{1}{HC} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь, решим это уравнение относительно HC:

\(HC = \frac{2}{\sqrt{3}}\)

Итак, мы нашли значение высоты СК, она равна \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).

Теперь осталось найти значение высоты АН. Для этого воспользуемся выражением:

\(\frac{1}{HC} = \frac{1}{NK}\)

Подставим в него значение HC = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\(\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)

\(\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Итак, мы нашли значение высоты АН, она равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, значения высоты АН и СК в треугольнике ABC равны соответственно: АН = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) и СК = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).