25.142. Як вирахувати об єм конуса, якщо проведена хорда довжиною 2^2 см, розташована на відстані 1 см від центра

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать геометрические свойства конуса и теорему Пифагора.

Первым шагом рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через основу и перпендикулярной его оси. Согласно условию, нашей плоскости соответствует хорда длиной 2^2 см (4 см). Кроме того, известно, что эта хорда находится на расстоянии 1 см от центра основания. Обозначим данное расстояние как r.

Пусть точка A - это центр основания конуса, точка B - это точка пересечения хорды и плоскости сечения, а точка C - это один из концов хорды.

Теперь мы можем построить прямоугольный треугольник ABC со следующими сторонами: AB = 4 см (длина хорды), AC = 1 см (расстояние от центра основания) и BC - неизвестная сторона треугольника.

Так как известно, что хорда в нашем случае является твёрдой, после проведения треугольника ABC, мы можем заметить, что порождённые ею геометрические фигуры имеют равные площади и объёмы (хключая необходимый конус). Таким образом, можно посчитать объём треугольного пирамиды ABC и затем умножить его на 2, чтобы получить объём всего конуса.

Теперь рассмотрим треугольник ABC более подробно:
Мы знаем, что угол CAB равен 60° и что хорда AB равна 4 см. Найдём длину BC, используя теорему Пифагора:
\[BC = \sqrt{{AB^2 - AC^2}} = \sqrt{{4^2 - 1^2}} = \sqrt{15} \approx 3.873 см.\]

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{15} = \frac{\sqrt{15}}{2} \approx 1.936 см^2.\]

Объём треугольной пирамиды ABC можно рассчитать по формуле:
\[V_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot AC = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{15}}{6} \approx 0.811 см^3.\]

Так как трёхмерные фигуры, порождённые хордой, в нашем случае, одинаковы, это означает, что объём всего конуса V равен удвоенному объёму пирамиды ABC:
\[V = 2 \cdot V_{ABC} = 2 \cdot 0.811 = 1.622 см^3.\]

Итак, объём данного конуса составляет 1.622 кубических сантиметра.