25.103. Які відношення сторін основи прямої трикутної призми, якщо площа бічної поверхні дорівнює 816 см², а бічне

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть основа прямоугольной призмы имеет стороны \(a\) и \(b\), а боковое ребро имеет длину \(c\).

Зная это, мы можем выразить площадь боковой поверхности призмы следующим образом:

\[ S = 2(ab + ac + bc) \]

В нашем случае площадь боковой поверхности равна 816 см².

\[ 816 = 2(ab + ac + bc) \]

У нас также имеется дополнительное условие: "боковое ребро имеет длину 20 см". Это означает, что \(c = 20\).

Подставим значение \(c\) в уравнение для площади боковой поверхности:

\[ 816 = 2(ab + 20a + 20b) \]

У нас есть еще одно условие: "основа прямоугольной призмы". Это означает, что стороны \(a\) и \(b\) прямоугольной основы призмы не равны между собой.

Так как нам нужно найти отношение сторон основы, давайте введем новую переменную \(k\), которая будет равна отношению \(a/b\). То есть \(k = a/b\). Подставим это в уравнение:

\[ 816 = 2(kb + 20k + 20b) \]

Теперь, как нам найти значение \(k\) при заданной площади боковой поверхности?

Мы можем решить это уравнение, выразив \(k\) через известные значения. Тогда получится:

\[ 816 = 2kb + 40k + 40b \]

Перегруппируем члены:

\[ 2kb + 40k + 40b = 816 \]

Вынесем общий множитель:

\[ 2k(b + 20) + 40(b + 20) = 816 \]

А теперь приведем подобные слагаемые:

\[ 2kb + 40k + 40b + 800 = 816 \]

Вычтем 800 из обеих сторон:

\[ 2kb + 40k + 40b = 16 \]

Теперь можно выразить \(k\) через \(b\):

\[ 2kb + 40k = 16 - 40b \]

\[ k(2b + 40) = 16 - 40b \]

\[ k = \frac{{16 - 40b}}{{2b + 40}} \]

Итак, отношение сторон основы прямоугольной призмы равно:

\[ k = \frac{{16 - 40b}}{{2b + 40}} \]

Теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать, чтобы получить конкретное значение \(k\) при заданной длине бокового ребра \(c\).

Например, если боковое ребро имеет длину 20 см, то:

\[ k = \frac{{16 - 40 \cdot 20}}{{2 \cdot 20 + 40}} \]