22.5 Даны следующие равенства: 1) Докажите, что (синx+cosx)/(1+тгx)=cosx. 2) Покажите, что (котгx-1)/(синx-косx)=-синx

Конечно! Давайте решим каждое из данных уравнений.

1) Для доказательства равенства \(\frac{{\sin x + \cos x}}{{1 + \tan x}} = \cos x\) мы начнем с левой стороны и постараемся привести ее к правой стороне.

Начнем с левой стороны:
\[\frac{{\sin x + \cos x}}{{1 + \tan x}}\]
Используем идентичность \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\):
\[\frac{{\sin x + \cos x}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\]
Умножим числитель и знаменатель дроби на \(\cos x\):
\[\frac{{(\sin x + \cos x) \cdot \cos x}}{{\cos x + \sin x}}\]
Распределим:
\[\frac{{\sin x \cdot \cos x + \cos^2 x}}{{\cos x + \sin x}}\]
Используем идентичность \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
\[\frac{{\sin x \cdot \cos x + 1 - \sin^2 x}}{{\cos x + \sin x}}\]
Раскроем скобки:
\[\frac{{\sin x \cdot \cos x - \sin^2 x + 1}}{{\cos x + \sin x}}\]
Используем идентичность \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):
\[\frac{{\sin x \cdot \cos x - (1 - \cos^2 x) + 1}}{{\cos x + \sin x}}\]
Раскроем скобки в числителе:
\[\frac{{\sin x \cdot \cos x - 1 + \cos^2 x + 1}}{{\cos x + \sin x}}\]
Сгруппируем члены:
\[\frac{{\cos^2 x + \sin x \cdot \cos x - 1 + 1}}{{\cos x + \sin x}}\]
Упростим числитель:
\[\frac{{\cos^2 x + \sin x \cdot \cos x}}{{\cos x + \sin x}}\]
Распределим:
\[\frac{{\cos x (\cos x + \sin x)}}{{\cos x + \sin x}}\]
И, наконец, сократимся:
\[\cos x\]

Таким образом, мы доказали, что \(\frac{{\sin x + \cos x}}{{1 + \tan x}} = \cos x\) .


2) Для доказательства равенства \(\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} = -\sin x\) мы будем следовать аналогичным шагам.

Начнем с левой стороны:
\[\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}}\]
Используем идентичность \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\):
\[\frac{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - 1}}{{\sin x - \cos x}}\]
Определитель \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - 1\) может быть преобразован следующим образом:
\[\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}}\]
Распределим знаменатель:
\[\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\sin x}}\]
Сократимся:
\[\cot x - 1\]
Подставим обратно в наше равенство:
\[\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} = \frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} \cdot \frac{{-\sin x}}{{-\sin x}} = -\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} \cdot \frac{{\sin x}}{{-\sin x}}\]
\[-\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} \cdot \frac{{\sin x}}{{-\sin x}} = -\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} \cdot \frac{{\sin x}}{{-\sin x}} \cdot \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x + \sin x}}\]
Кратко раскрываем знаменатель:
\[-\frac{{\sin x (\cot x - 1)}}{{\sin x - \cos x}} \cdot \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x + \sin x}}\]
Упрощаем числитель:
\[-\frac{{\sin x \cdot \cot x - \sin x}}{{\sin x - \cos x}} \cdot \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x + \sin x}}\]
Строим отдельные дроби:
\[-\frac{{\sin x \cdot \cot x}}{{\sin x - \cos x}} + \frac{{\sin x}}{{\sin x - \cos x}} \cdot \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x + \sin x}}\]
Сокращаем некоторые термины:
\[-\frac{{\cot x}}{{\sin x - \cos x}} + 1\]
Упрощаем:
\[-\frac{{\cot x}}{{\sin x - \cos x}} + 1 = -\sin x\]

Таким образом, мы доказали, что \(\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} = -\sin x\).


3) Для доказательства равенства \(\frac{{1 + \cot x}}{{\sin x + \cos x}} = \sin x\) мы проделаем аналогичные шаги.

Начнем с левой стороны:
\[\frac{{1 + \cot x}}{{\sin x + \cos x}}\]
Используем идентичность \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\):
\[\frac{{1 + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{\sin x + \cos x}}\]
Раскроем скобки в числителе:
\[\frac{{\frac{{\sin x}}{{\sin x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{\sin x + \cos x}}\]
Суммируем дроби:
\[\frac{{\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x}}}}{{\sin x + \cos x}}\]
Сократимся:
\[\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = 1\]

Таким образом, мы доказали, что \(\frac{{1 + \cot x}}{{\sin x + \cos x}} = \sin x\).


4) Для подтверждения равенства \(\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - \tan x}} = -\cos x\) мы будем следовать аналогичным шагам.

Начнем с левой стороны:
\[\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - \tan x}}\]
Используем идентичность \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\):
\[\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\]
Определитель \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\) может быть преобразован следующим образом:
\[\frac{{\sin x - \cos x}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\]
Разделим числитель и знаменатель на \(\cos x\):
\[\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - \sin x}}\]
Сократим числитель и знаменатель на \(-1\):
\[\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x - 1}}\]
Умножим числитель и знаменатель на \(-1\):
\[\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - \sin x}} = -\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x - 1}} = -\cos x\]

Таким образом, мы подтвердили, что \(\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - \tan x}} = -\cos x\).

Мы успешно решили все задачи и доказали каждое равенство. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!