22.5 Даны следующие равенства: 1) Докажите, что (синx+cosx)/(1+тгx)=cosx. 2) Покажите, что (котгx-1)/(синx-косx)=-синx

Конечно! Давайте решим каждое из данных уравнений.

1) Для доказательства равенства $\frac{\sin x+\cos x}{1+\tan x}=\cos x$ мы начнем с левой стороны и постараемся привести ее к правой стороне.

Начнем с левой стороны:
$$\frac{\sin x+\cos x}{1+\tan x}$$
Используем идентичность $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$:
$$\frac{\sin x+\cos x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}$$
Умножим числитель и знаменатель дроби на $\cos x$:
$$\frac{(\sin x+\cos x)\cdot \cos x}{\cos x+\sin x}$$
Распределим:
$$\frac{\sin x\cdot \cos x+{\cos }^{2}x}{\cos x+\sin x}$$
Используем идентичность ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$:
$$\frac{\sin x\cdot \cos x+1-{\sin }^{2}x}{\cos x+\sin x}$$
Раскроем скобки:
$$\frac{\sin x\cdot \cos x-{\sin }^{2}x+1}{\cos x+\sin x}$$
Используем идентичность ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:
$$\frac{\sin x\cdot \cos x-(1-{\cos }^{2}x)+1}{\cos x+\sin x}$$
Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{\sin x\cdot \cos x-1+{\cos }^{2}x+1}{\cos x+\sin x}$$
Сгруппируем члены:
$$\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cdot \cos x-1+1}{\cos x+\sin x}$$
Упростим числитель:
$$\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cdot \cos x}{\cos x+\sin x}$$
Распределим:
$$\frac{\cos x(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}$$
И, наконец, сократимся:
$$\cos x$$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{\sin x+\cos x}{1+\tan x}=\cos x$ .


2) Для доказательства равенства $\frac{\cot x-1}{\sin x-\cos x}=-\sin x$ мы будем следовать аналогичным шагам.

Начнем с левой стороны:
$$\frac{\cot x-1}{\sin x-\cos x}$$
Используем идентичность $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$:
$$\frac{\frac{\cos x}{\sin x}-1}{\sin x-\cos x}$$
Определитель $\frac{\cos x}{\sin x}-1$ может быть преобразован следующим образом:
$$\frac{\cos x-\sin x}{\sin x}$$
Распределим знаменатель:
$$\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\sin x}$$
Сократимся:
$$\cot x-1$$
Подставим обратно в наше равенство:
$$\frac{\cot x-1}{\sin x-\cos x}=\frac{\cot x-1}{\sin x-\cos x}\cdot \frac{-\sin x}{-\sin x}=-\frac{\cot x-1}{\sin x-\cos x}\cdot \frac{\sin x}{-\sin x}$$
$$-\frac{\cot x-1}{\sin x-\cos x}\cdot \frac{\sin x}{-\sin x}=-\frac{\cot x-1}{\sin x-\cos x}\cdot \frac{\sin x}{-\sin x}\cdot \frac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}$$
Кратко раскрываем знаменатель:
$$-\frac{\sin x(\cot x-1)}{\sin x-\cos x}\cdot \frac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}$$
Упрощаем числитель:
$$-\frac{\sin x\cdot \cot x-\sin x}{\sin x-\cos x}\cdot \frac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}$$
Строим отдельные дроби:
$$-\frac{\sin x\cdot \cot x}{\sin x-\cos x}+\frac{\sin x}{\sin x-\cos x}\cdot \frac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}$$
Сокращаем некоторые термины:
$$-\frac{\cot x}{\sin x-\cos x}+1$$
Упрощаем:
$$-\frac{\cot x}{\sin x-\cos x}+1=-\sin x$$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{\cot x-1}{\sin x-\cos x}=-\sin x$.


3) Для доказательства равенства $\frac{1+\cot x}{\sin x+\cos x}=\sin x$ мы проделаем аналогичные шаги.

Начнем с левой стороны:
$$\frac{1+\cot x}{\sin x+\cos x}$$
Используем идентичность $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$:
$$\frac{1+\frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x+\cos x}$$
Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{\frac{\sin x}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x+\cos x}$$
Суммируем дроби:
$$\frac{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}}{\sin x+\cos x}$$
Сократимся:
$$\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}=1$$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1+\cot x}{\sin x+\cos x}=\sin x$.


4) Для подтверждения равенства $\frac{\sin x-\cos x}{1-\tan x}=-\cos x$ мы будем следовать аналогичным шагам.

Начнем с левой стороны:
$$\frac{\sin x-\cos x}{1-\tan x}$$
Используем идентичность $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$:
$$\frac{\sin x-\cos x}{1-\frac{\sin x}{\cos x}}$$
Определитель $\frac{\sin x}{\cos x}$ может быть преобразован следующим образом:
$$\frac{\sin x-\cos x}{\frac{\cos x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}$$
Разделим числитель и знаменатель на $\cos x$:
$$\frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x}$$
Сократим числитель и знаменатель на $-1$:
$$\frac{\cos x-\sin x}{\sin x-1}$$
Умножим числитель и знаменатель на $-1$:
$$\frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x}=-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x-1}=-\cos x$$

Таким образом, мы подтвердили, что $\frac{\sin x-\cos x}{1-\tan x}=-\cos x$.

Мы успешно решили все задачи и доказали каждое равенство. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!