20б) 1. Найдите площадь прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 6, если длина катета AC равна

Давайте решим каждую задачу по очереди:

1. Найдем площадь прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 6, если длина катета AC равна 14.

Для начала, найдем длину катета AB, который составляет одну из сторон треугольника ABC. Известно, что катет AC равен 14, а сторона квадрата равна 6. Можем использовать теорему Пифагора, так как треугольник ABC прямоугольный.

\[AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}\]

Заметим, что катет BC равен половине стороны квадрата, так как треугольник вписан в квадрат. Подставляем значения в формулу:

\[AB = \sqrt{14^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{196 - 9} = \sqrt{187}\]

Таким образом, длина катета AB равна \(\sqrt{187}\).

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times AB \times AC\]

Подставляем значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \times \sqrt{187} \times 14 = 7\sqrt{187}\]

Площадь прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 6 и с длиной катета AC равной 14, равна \(7\sqrt{187}\).

2. Найдем длину катета BC прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 6, если длина катета AC равна 14.

Мы уже знаем длину катета AB, найденную в предыдущем решении (\(\sqrt{187}\)). Чтобы найти длину катета BC, нам необходимо использовать теорему Пифагора:

\[BC = \sqrt{AC^2 - AB^2}\]

Подставляем известные значения:

\[BC = \sqrt{14^2 - (\sqrt{187})^2} = \sqrt{196 - 187} = \sqrt{9} = 3\]

Таким образом, длина катета BC равна 3.

3. Найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 9, если длина катета AC равна 21.

Аналогично предыдущему решению, длину катета AB мы уже знаем (\(\sqrt{187}\)). Чтобы найти длину гипотенузы, снова используем теорему Пифагора:

\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\]

Подставляем значения:

\[BC = \sqrt{(\sqrt{187})^2 + 21^2} = \sqrt{187 + 441} = \sqrt{628}\]

Таким образом, длина гипотенузы равна \(\sqrt{628}\).

4. Найдем высоту прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 9, если длина катета AC равна 21 и высота опущена на гипотенузу.

Высота, опущенная на гипотенузу, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. Значит, мы можем использовать подобие треугольников для решения задачи.

Пусть \(h\) - длина высоты треугольника, \(x\) - длина отрезка, на котором разделена гипотенуза треугольника высотой. Известно, что длина катета AC равна 21, а сторона квадрата равна 9.

Используем подобие треугольников:

\[\frac{h}{x} = \frac{x}{21}\]

Решим этот пропорциональный треугольник относительно \(x\):

\[x^2 = 21h\]

Также воспользуемся теоремой Пифагора для большего треугольника ABC:

\[h^2 = AC^2 - BC^2 = 21^2 - 9^2 = 441 - 81 = 360\]

Подставляем это значение в пропорцию:

\[x^2 = 21h \implies x^2 = 21 \cdot 360 \implies x = \sqrt{7560} \approx 87.02\]

Тогда длина высоты составит:

\[h = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}\]

Таким образом, высота прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 9, если длина катета AC равна 21 и высота опущена на гипотенузу, равна \(6\sqrt{10}\).