20б) 1. Найдите площадь прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 6, если длина катета AC равна

Давайте решим каждую задачу по очереди:

1. Найдем площадь прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 6, если длина катета AC равна 14.

Для начала, найдем длину катета AB, который составляет одну из сторон треугольника ABC. Известно, что катет AC равен 14, а сторона квадрата равна 6. Можем использовать теорему Пифагора, так как треугольник ABC прямоугольный.

$$AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}$$

Заметим, что катет BC равен половине стороны квадрата, так как треугольник вписан в квадрат. Подставляем значения в формулу:

$$AB=\sqrt{{14}^2-{\left(\frac{6}{2}\right)}^2}=\sqrt{196-9}=\sqrt{187}$$

Таким образом, длина катета AB равна $\sqrt{187}$.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\times AB\times AC$$

Подставляем значения в формулу:

$$S=\frac{1}{2}\times \sqrt{187}\times 14=7\sqrt{187}$$

Площадь прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 6 и с длиной катета AC равной 14, равна $7\sqrt{187}$.

2. Найдем длину катета BC прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 6, если длина катета AC равна 14.

Мы уже знаем длину катета AB, найденную в предыдущем решении ($\sqrt{187}$). Чтобы найти длину катета BC, нам необходимо использовать теорему Пифагора:

$$BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}$$

Подставляем известные значения:

$$BC=\sqrt{{14}^2-(\sqrt{187}{)}^2}=\sqrt{196-187}=\sqrt{9}=3$$

Таким образом, длина катета BC равна 3.

3. Найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 9, если длина катета AC равна 21.

Аналогично предыдущему решению, длину катета AB мы уже знаем ($\sqrt{187}$). Чтобы найти длину гипотенузы, снова используем теорему Пифагора:

$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$$

Подставляем значения:

$$BC=\sqrt{(\sqrt{187}{)}^2+{21}^2}=\sqrt{187+441}=\sqrt{628}$$

Таким образом, длина гипотенузы равна $\sqrt{628}$.

4. Найдем высоту прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 9, если длина катета AC равна 21 и высота опущена на гипотенузу.

Высота, опущенная на гипотенузу, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. Значит, мы можем использовать подобие треугольников для решения задачи.

Пусть $h$ - длина высоты треугольника, $x$ - длина отрезка, на котором разделена гипотенуза треугольника высотой. Известно, что длина катета AC равна 21, а сторона квадрата равна 9.

Используем подобие треугольников:

$$\frac{h}{x}=\frac{x}{21}$$

Решим этот пропорциональный треугольник относительно $x$:

$$x^2=21h$$

Также воспользуемся теоремой Пифагора для большего треугольника ABC:

$$h^2=A{C}^2-B{C}^2={21}^2-9^2=441-81=360$$

Подставляем это значение в пропорцию:

$$x^2=21h⟹x^2=21\cdot 360⟹x=\sqrt{7560}\approx 87.02$$

Тогда длина высоты составит:

$$h=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$$

Таким образом, высота прямоугольного треугольника ABC, вписанного в квадрат со стороной 9, если длина катета AC равна 21 и высота опущена на гипотенузу, равна $6\sqrt{10}$.