2. За какое количество дней обе бригады, работая совместно, могут выполнить работу, если первая бригада затратила

Для решения данной задачи, нам необходимо выяснить, какое количество дней затратит вторая бригада на выполнение работы, и затем определить их общую скорость работы, когда они работают вместе.

Пусть первая бригада работает со скоростью \(V_1\) единиц работы в день, а вторая бригада работает со скоростью \(V_2\) единиц работы в день.

Мы знаем, что первая бригада затратила 16 дней на выполнение работы, а вторая бригада работает в полтора раза медленнее первой. Это означает, что скорость работы второй бригады равна \(\frac{2}{3}\) скорости работы первой бригады.

Чтобы найти скорость работы второй бригады, мы можем использовать соотношение:

\[V_2 = \frac{2}{3} V_1\]

Теперь, чтобы найти количество дней, которое затратит вторая бригада на выполнение работы, мы можем использовать соотношение времени и скорости работы:

\[\text{Количество дней} = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Скорость работы}}\]

Для первой бригады, которая затратила 16 дней на выполнение работы, можно сказать, что:

\[\text{Объем работы} = V_1 \cdot 16 \text{ (единиц работы)}\]

Аналогично, для второй бригады:

\[\text{Объем работы} = V_2 \cdot D \text{ (единиц работы)}\]

Где \(D\) - количество дней, которое затратит вторая бригада на выполнение работы.

Мы можем приравнять объем работы, выполненный обеими бригадами:

\[V_1 \cdot 16 = V_2 \cdot D\]

А теперь мы можем подставить выражение для \(V_2\), которое мы получили ранее:

\[V_1 \cdot 16 = \frac{2}{3} V_1 \cdot D\]

Теперь остается только решить это уравнение относительно \(D\):

\[\frac{2}{3} V_1 \cdot D = V_1 \cdot 16\]

Делим обе стороны на \(\frac{2}{3} V_1\):

\[D = \frac{V_1 \cdot 16}{\frac{2}{3} V_1} = \frac{16}{\frac{2}{3}} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24\]

Таким образом, вторая бригада затратит 24 дня на выполнение работы. Когда обе бригады работают вместе, их общая скорость работы будет равна сумме их скоростей:

\[V_{\text{общ}} = V_1 + V_2 = V_1 + \frac{2}{3} V_1 = \frac{5}{3} V_1\]

Теперь, чтобы найти количество дней, которое обе бригады затратят на выполнение работы вместе, мы можем использовать ту же формулу:

\[\text{Количество дней} = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Скорость работы}} = \frac{V_{\text{общ}} \cdot \text{Количество дней}}{V_{\text{общ}}}\]

Подставляем известные значения:

\[\text{Количество дней} = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Скорость работы}} = \frac{\frac{5}{3} V_1 \cdot 16}{\frac{5}{3} V_1} = 16\]

Таким образом, обе бригады, работая вместе, могут выполнить работу за 16 дней.