2. У скільки разів вище підніметься вода і молоко у капілярних трубках з однаковими внутрішніми радіусами? Поверхневий

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу высоты поднятия жидкости в капилляре, которая зависит от поверхностного натяжения и радиуса капилляра. Формула имеет следующий вид:

\[h = \frac{{2T}}{{r\rho g}}\]

где:
\(h\) - высота поднятия жидкости,
\(T\) - поверхностное натяжение жидкости,
\(r\) - радиус капилляра,
\(\rho\) - плотность жидкости (в данной задаче плотности воды и молока одинаковы),
\(g\) - ускорение свободного падения (примерно равно \(9,8 \, \text{м/с}^2\)).

В задаче у нас имеются значения поверхностного натяжения для воды (\(T_{\text{воды}} = 72 \, \text{мН/м}\)) и молока (\(T_{\text{молока}} = 46 \, \text{мН/м}\)). Также известно, что радиусы капилляров одинаковы. Наша задача - вычислить, во сколько раз выше поднимется вода и молоко.

a) Поднимется ли молоко в 6,3 раза выше, чем вода?
Для решения этого пункта задачи, подставим значения в формулу и вычислим высоту поднятия для воды и молока. Затем найдем их отношение:

Для воды:
\[h_{\text{воды}} = \frac{{2 \cdot 72 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}}\]

Для молока:
\[h_{\text{молока}} = \frac{{2 \cdot 46 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}}\]

Отношение высот поднятия молока к воде будет:
\[\frac{{h_{\text{молока}}}}{{h_{\text{воды}}}}\]

Подставим численные значения.
Выберем высоту поднятия воды \(h_{\text{воды}}\) равной 1, чтобы сравнивать относительные высоты поднятия.

Тогда:
\[h_{\text{воды}} = 1\]
\[h_{\text{молока}} = \frac{{2 \cdot 46}}{{72}} \approx 0.6389\]

Отношение высот поднятия молока к воде:
\[\frac{{h_{\text{молока}}}}{{h_{\text{воды}}}} = \frac{{0.6389}}{{1}} \approx 0.6389\]

Таким образом, молоко поднимется примерно в 0.6389 раз выше, чем вода. Так как это значение меньше чем 6,3, утверждение в пункте "а)" неверно.

b) Поднимется ли вода в 1,2 раза выше, чем молоко?
Для решения этого пункта задачи, мы снова подставим значения в формулу и вычислим отношение высот поднятия молока к воде:

Для воды:
\[h_{\text{воды}} = \frac{{2 \cdot 72 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}}\]

Для молока:
\[h_{\text{молока}} = \frac{{2 \cdot 46 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}}\]

Отношение высот поднятия воды к молоку будет:
\[\frac{{h_{\text{воды}}}}{{h_{\text{молока}}}}\]

Так как высота поднятия воды задана равной 1, мы можем найти отношение высот поднятия воды к молоку следующим образом:

\[\frac{{h_{\text{воды}}}}{{h_{\text{молока}}}} = \frac{{1}}{{h_{\text{молока}}}}\]

Тогда:
\[\frac{{h_{\text{воды}}}}{{h_{\text{молока}}}} = \frac{{1}}{{\frac{{2 \cdot 46}}{{72}}}} = \frac{{72}}{{2 \cdot 46}} \approx 0.7826 \]

Отношение высот поднятия воды к молоку равно примерно 0.7826. Так как это значение меньше чем 1.2, утверждение в пункте "б)" верно.

в) Поднимется ли вода в 1,57 раз выше, чем молоко?
Решение данного пункта задачи аналогично предыдущему. Мы снова подставим значения в формулу и вычислим отношение высот поднятия молока к воде.

Для воды:
\[h_{\text{воды}} = \frac{{2 \cdot 72 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}}\]

Для молока:
\[h_{\text{молока}} = \frac{{2 \cdot 46 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}}\]

Отношение высот поднятия воды к молоку будет:
\[\frac{{h_{\text{воды}}}}{{h_{\text{молока}}}}\]

Так как задано, что высота поднятия воды будет 1.57 раза выше, мы можем найти отношение высот поднятия воды к молоку следующим образом:

\[\frac{{h_{\text{воды}}}}{{h_{\text{молока}}}} = 1.57\]

Подставим значения:
\[\frac{{2 \cdot 72 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}} = 1.57 \cdot \frac{{2 \cdot 46 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}}\]

Сокращаем значения и решаем уравнение:
\[1.57 = \frac{{72}}{{46}}\]
\[1.57 = 1.5652\]

Таким образом, не существует такого значения высоты поднятия воды, при котором оно было бы 1.57 раза выше, чем высота поднятия молока. Утверждение в пункте "в)" неверно.

г) Высоты одинаковы.
В данном пункте нам нужно показать, что высоты поднятия воды и молока равны. Для этого мы снова используем формулу высоты поднятия в капилляре:

\[h = \frac{{2T}}{{r\rho g}}\]

Мы знаем, что высоты одинаковы, поэтому мы можем приравнять значения выражений для воды и молока:

\[\frac{{2 \cdot 72 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}} = \frac{{2 \cdot 46 \, \text{мН/м}}}{{r \cdot \rho \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}}\]

Сокращаем значения и решаем уравнение:
\[72 = 46\]

Таким образом, мы получаем противоречие: значения не равны. Утверждение в пункте "г)" также неверно.

Таким образом, для данной задачи единственно верное утверждение из предложенных - "б) вода в 1,2 раза".