2. Прямоугольный параллелепипед имеет стороны основания, равные 3 и 4, а боковое ребро равно 6. Точка К выбрана

Предоставленная задача требует рассмотрения двух составляющих: а) нахождение угла между прямыми АК и ; б) нахождение угла между плоскостями.

а) Найти угол между прямыми АК и :

Для начала, определим положение точки К на ребре прямоугольного параллелепипеда. Задано, что точка К делит это ребро в отношении 2:1, считая от вершины D. Это означает, что отрезок KD представляет 2 части, а отрезок КА - 1 часть. Рассчитаем их длины:

Длина \(KD = \frac{2}{3} \times 6 = 4\) единицы.
Длина \(KA = \frac{1}{3} \times 6 = 2\) единицы.

Теперь, чтобы найти угол между прямыми АК и , воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя векторами:

\[\cos\theta = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{\left\|\mathbf{AB}\right\| \times \left\|\mathbf{AC}\right\|}}\]

где \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\) - векторы, начинающиеся в точке A и направленные соответственно в точки К и , \(\left\|\mathbf{AB}\right\|\) и \(\left\|\mathbf{AC}\right\|\) - их длины.

Вектор \(\mathbf{AB}\) можно представить как разность координат:

\(\mathbf{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\)

где \(x_A\), \(y_A\), \(z_A\) - координаты вершины А, а \(x_B\), \(y_B\), \(z_B\) - координаты точки К.

Аналогично, вектор \(\mathbf{AC}\) вычисляется как разность координат:

\(\mathbf{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)\)

где \(x_C\), \(y_C\), \(z_C\) - координаты точки .

Теперь, мы можем вычислить скалярное произведение векторов \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\):

\(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (x_B - x_A)(x_C - x_A) + (y_B - y_A)(y_C - y_A) + (z_B - z_A)(z_C - z_A)\)

а также длины векторов:

\(\left\|\mathbf{AB}\right\| = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}}\)

\(\left\|\mathbf{AC}\right\| = \sqrt{{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}}\)

Подставив эти значения в формулу для нахождения косинуса угла, мы найдем искомый угол \(\theta\).

б) Найти угол между плоскостями:

Для решения этой задачи необходимо определить нормальные векторы для каждой плоскости и рассчитать угол между ними.

Определим нормальный вектор плоскости АК. Для этого найдем векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости, например, \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\):

\(\mathbf{AK} = \mathbf{AB} \times \mathbf{AC}\)

где \(\times\) обозначает операцию векторного произведения.

Аналогично, найдем нормальный вектор плоскости . Пусть мы возьмем вектор \(\mathbf{AD}\) и вектор \(\mathbf{AC}\) лежащими в этой плоскости:

\(\mathbf{AD} \times \mathbf{AC} = \mathbf{}"\)

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

\(\cos\theta = \frac{{\mathbf{AK} \cdot \mathbf{}"}}{{\left\|\mathbf{AK}\right\| \times \left\|\mathbf{}"\right\|}}\)

где \(\mathbf{AK}\) и \(\mathbf{}"\) - нормальные векторы плоскостей, \(\left\|\mathbf{AK}\right\|\) и \(\left\|\mathbf{}"\right\|\) - их длины.

Подставив значения в формулу и вычислив косинус угла, мы найдем искомый угол \(\theta\).

Таким образом, мы решили задачу, нашли угол между прямыми АК и , а также угол между плоскостями. При решении использовались методы векторной алгебры.