2. Переформулируйте выражения. а) Как можно упростить выражение −cos(α+β)−sin(β)sin(α)−cos(α+β)−sin(β)sin(α)?

a) Чтобы упростить выражение \(-\cos(\alpha+\beta) - \sin(\beta)\sin(\alpha) - \cos(\alpha+\beta) - \sin(\beta)\sin(\alpha)\), давайте воспользуемся тригонометрическими формулами для суммы двух углов и для разности двух углов.

1. Заменим \(-\cos(\alpha+\beta)\) на \(-\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)\) с использованием формулы для суммы двух углов.
2. Заменим \(-\cos(\alpha+\beta)\) во втором слагаемом на \(-\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)\) снова с использованием формулы для суммы двух углов.
3. Разложим \(-\sin(\beta)\sin(\alpha)\) на \(-\sin(\beta)\sin(\alpha)\).

Таким образом, выражение можно упростить следующим образом:

\(-\cos(\alpha+\beta) - \sin(\beta)\sin(\alpha) - \cos(\alpha+\beta) - \sin(\beta)\sin(\alpha)\)
\(= -\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) - \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) - \sin(\beta)\sin(\alpha)\)
\(= -2\cos(\alpha)\cos(\beta) + 2\sin(\alpha)\sin(\beta) - \sin(\beta)\sin(\alpha)\)

Давайте проверим, что полученное выражение имеет правильное упрощение. Используем формулу для разности двух углов: \(\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)\).

\(-2\cos(\alpha)\cos(\beta) + 2\sin(\alpha)\sin(\beta) - \sin(\beta)\sin(\alpha)\)
\(= -2(\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)) - \sin(\beta)\sin(\alpha)\)
\(= -2\cos(\alpha-\beta) - \sin(\beta)\sin(\alpha)\).

Таким образом, упрощенное выражение равно \(-2\cos(\alpha-\beta) - \sin(\beta)\sin(\alpha)\).

б) Чтобы упростить выражение \(\cos(x-2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\cos(x-2\pi/3) - \frac{3}{2}\sin(x)\), давайте воспользуемся знаниями о тригонометрии и тригонометрических формулах.

По формуле для разности двух углов \(\cos(A-B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)\) и геометрическому значению \(\cos(\pi/3) = 1/2\), \(\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2\), \(\sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2\), \(\cos(2\pi/3) = -1/2\), получаем:

1. Заменим \(\cos(x-2\pi/3)\) на \(\cos(x)\cos(2\pi/3) + \sin(x)\sin(2\pi/3)\) с использованием формулы для разности двух углов.
2. Заменим \(\cos(x-2\pi/3)\) во втором слагаемом на \(\cos(x)\cos(2\pi/3) + \sin(x)\sin(2\pi/3)\) снова с использованием формулы для разности двух углов.

Таким образом, выражение можно упростить следующим образом:

\(\cos(x-2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\cos(x-2\pi/3) - \frac{3}{2}\sin(x)\)
\(= (\cos(x)\cos(2\pi/3) + \sin(x)\sin(2\pi/3)) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)(\cos(x)\cos(2\pi/3) + \sin(x)\sin(2\pi/3)) - \frac{3}{2}\sin(x)\)
\(= \cos(x)\cos(2\pi/3) + \sin(x)\sin(2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\cos(x)\cos(2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2(x)\sin(2\pi/3) - \frac{3}{2}\sin(x)\)
\(= \cos(x)\cos(2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\cos(x)\cos(2\pi/3) + \sin(x)\sin(2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2(x)\sin(2\pi/3) - \frac{3}{2}\sin(x)\).

Давайте проверим, что полученное выражение имеет правильное упрощение. Используем формулу для разности двух углов и геометрические значения:

\(\cos(x)\cos(2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\cos(x)\cos(2\pi/3) + \sin(x)\sin(2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2(x)\sin(2\pi/3) - \frac{3}{2}\sin(x)\)
\(= \cos(x)\left(\cos(2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\cos(2\pi/3)\right) + \sin(x)\sin(2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2(x)\sin(2\pi/3) - \frac{3}{2}\sin(x)\)
\(= \cos(x)\left(\cos(2\pi/3) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\cos(2\pi/3) - \sin(2\pi/3)\sin^2(x) - \frac{3}{2}\right) + \sin(x)\sin(2\pi/3) - \frac{3}{2}\sin(x)\)
\(= \cos(x)\left(-\frac{1}{2}\right) + \sin(x)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{3}{2}\sin(x)\)
\(= -\frac{1}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) - \frac{3}{2}\sin(x)\)
\(= -\frac{1}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)\).

Таким образом, упрощенное выражение равно \(-\frac{1}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)\).