2. Найдите а) длину диагонали куба, если длина одного из его ребер равна 10 см; б) площадь плоского сечения

а) Длина диагонали куба равна длине его ребра, умноженной на \(\sqrt{3}\). В данном случае, если длина ребра равна 10 см, то длина диагонали будет равна:

\[d = a\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \approx 17.32\, \text{см}\]

где \(d\) - длина диагонали, \(a\) - длина ребра.

б) Площадь плоского сечения, проходящего через две диагонали куба, можно найти как произведение длин этих диагоналей и деление на 2.

Пусть \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей, проходящих через куб. Тогда площадь сечения будет равна:

\[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\]

В кубе все диагонали имеют одинаковую длину, равную длине диагонали грани. Значит, в нашем случае:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2}\cdot 10\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 200 = 100\, \text{см}^2\]

где \(S\) - площадь плоского сечения, \(d_1\), \(d_2\) - длины диагоналей.

3. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника. Обозначим стороны треугольника \(AB\), \(BC\), \(AC\) как \(a\), \(b\), \(c\) соответственно.

Пусть \(r\) - радиус вписанной окружности, \(d\) - расстояние от точки \(K\) до сторон треугольника.

В данной задаче нам известны стороны \(AB = BC = 15\) см, \(AC = 24\) см и \(OK = 8\) см.

Сначала найдем радиус вписанной окружности:

\[r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{15 + 15 - 24}{2} = 3\, \text{см}\]

Теперь рассмотрим треугольник \(AOK\). Он является прямоугольным с гипотенузой \(AO\) и катетами \(OK\) и \(AK\).

По теореме Пифагора имеем:

\[AO^2 = AK^2 + OK^2\]

Так как \(OK = 8\) и \(r = 3\), то:

\[AO^2 = AK^2 + 3^2\]

Учитывая, что \(AO = AC - OC = 24 - 3 = 21\) см, получаем:

\[21^2 = AK^2 + 3^2\]

Решая это уравнение относительно \(AK\), найдем:

\[AK = \sqrt{441 - 9} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}\, \text{см}\]

Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Из этого треугольника можно выразить площадь через стороны с помощью формулы Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника равен \(\frac{a + b + c}{2}\).

В нашем случае \(a = b = 15\) и \(c = 24\). Подставим значения в формулу и найдем площадь:

\[p = \frac{15 + 15 + 24}{2} = 27\, \text{см}\]

\[S = \sqrt{27 \cdot (27 - 15) \cdot (27 - 15) \cdot (27 - 24)} = \sqrt{27 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 3} = 54\, \text{см}^2\]

Наконец, найдем высоту треугольника \(h\) через площадь и основание треугольника \(BC\):

\[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h\]

\[h = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot 54}{15} = \frac{36}{5} = 7.2\, \text{см}\]

Таким образом, расстояние от точки \(K\) до сторон треугольника равно \(7.2\) см.

4. а) Чтобы найти расстояние между прямыми \(VD\) и \(AA\), воспользуемся формулой:

\[d = \frac{|(x_0 - x_1) \cdot a_1 + (y_0 - y_1) \cdot b_1 + (z_0 - z_1) \cdot c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}\]

где \(AA\) задана уравнением \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\), \(VD\) задана уравнением \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\), а \(d\) - искомое расстояние.

В нашем случае, параллельные прямые \(VD\) и \(AA\) имеют уравнения:

\(AA: 6\sqrt{2}x + 6\sqrt{2}y + 6\sqrt{2}z + D_1 = 0\)

\(VD: 6\sqrt{2}x + 6\sqrt{2}y + 6\sqrt{2}z + D_2 = 0\)

Используя формулу, получаем:

\[d = \frac{|(0 - D_1) \cdot 6\sqrt{2} + (0 - 0) \cdot 6\sqrt{2} + (0 - 0) \cdot 6\sqrt{2}|}{\sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2}} = \frac{|-6\sqrt{2}D_1|}{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{36}} = \frac{|-D_1|}{6}\]

б) Чтобы найти угол между прямой \(VD\) и плоскостью, используем формулу для косинуса угла между прямой и плоскостью:

\[\cos{\theta} = \frac{(a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2)}{(\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2})}\]

где \(\theta\) - искомый угол, \(VD\) задана уравнением \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\), плоскость задана уравнением \(Ax + By + Cz + D_3 = 0\), \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\) - коэффициенты прямой \(VD\), \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\) - коэффициенты плоскости.

В нашем случае, прямая \(VD\) задана уравнением \(6\sqrt{2}x + 6\sqrt{2}y + 6\sqrt{2}z + D_2 = 0\), а плоскость задана уравнением \(6\sqrt{2}x + 6\sqrt{2}y + 6\sqrt{2}z + D_3 = 0\).

Коэффициенты прямой \(VD\) равны \(a_1 = b_1 = c_1 = 6\sqrt{2}\), коэффициенты плоскости равны \(a_2 = b_2 = c_2 = 6\sqrt{2}\).

Подставим значения в формулу и найдем угол:

\[\cos{\theta} = \frac{(6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2})}{(\sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} \cdot \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2})} = \frac{216}{216} = 1\]

Таким образом, угол между прямой \(VD\) и плоскостью равен \(0\) градусов.