1. Под треугольником АВС мы понимаем треугольник с вершинами в точках А, В и С. При этом точка Е принадлежит отрезку

Для доказательства, что отрезок ЕК параллелен плоскости Альфа, нам необходимо воспользоваться свойством плоскостей, которое гласит: если две плоскости пересекаются третьей плоскостью, то все прямые их пересечения с этой третьей плоскостью будут параллельны между собой.

В данном случае, плоскостью Альфа является плоскость, проходящая через прямую АС. Отрезок ЕК является отношением отрезков ВА и ВК, которое равно 2:5. Поскольку плоскость Альфа не пересекает плоскость треугольника АВС, мы можем заключить, что линия, образованная отрезком ЕК, параллельна плоскости Альфа. Таким образом, отрезок ЕК параллелен плоскости Альфа.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Если известно, что длина отрезка ЕК равна 14, нам необходимо найти длину отрезка АС.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АВК. Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть длина отрезка ВА равна x, а длина отрезка ВК равна y. Тогда согласно условию задачи, отношение длин отрезков ВА и ВК равно 2:5. Мы можем записать это следующим образом:

\(\frac{x}{y} = \frac{2}{5}\)

Теперь, применив теорему Пифагора к треугольнику АВК, мы можем записать:

\[x^2 + y^2 = \text{длина отрезка АК}^2\]

Заметим, что отрезок АК представляет собой сумму отрезков ВА и ВК:

\(\text{длина отрезка АК} = \text{длина отрезка ВА} + \text{длина отрезка ВК} = x + y\)

Теперь мы можем переписать теорему Пифагора следующим образом:

\[x^2 + y^2 = (x + y)^2\]

Раскрыв скобки, получим:

\[x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2\]

Теперь сократим одинаковые слагаемые на обеих сторонах уравнения:

\[0 = 2xy\]

Это означает, что произведение длин отрезков ВА и ВК равно нулю. Так как длины отрезков не могут быть нулевыми, то единственным решением этого уравнения будет x = 0 или y = 0. Но отрезок ВК не может быть нулевым, так как это не будет треугольником.

Значит, уравнение \(\frac{x}{y} = \frac{2}{5}\) не имеет решений, и длина отрезка АК равна 0. То есть, отрезок АК является точкой.

Чтобы найти длину отрезка АС, нужно сложить длину отрезка АК (равный 0) и длину отрезка КС. Поскольку отрезок АК является точкой, то отрезок КС должен быть равен длине отрезка АС:

\(\text{Длина отрезка АС} = \text{Длина отрезка КС}\)

Таким образом, длина отрезка АС равна 14.