2) Какова площадь параллелограмма MNKP, если его смежные стороны равны 40 см, 40 см и диагональ равна 84 см? Ответ

Задача 2:
Для определения площади параллелограмма MNKP, мы можем использовать формулу:

\[Площадь = S = a \cdot h\]

где \(a\) - длина смежной стороны, а \(h\) - высота, проведенная к этой стороне. Высоту \(h\) можно найти, используя теорему Пифагора.

Для начала найдем третью сторону параллелограмма, используя теорему Пифагора:

\[\text{Диагональ}^2 = a^2 + b^2\]

где \(b\) - длина третьей стороны. В нашем случае, диагональ равна 84 см, а смежные стороны равны 40 см, 40 см, так как параллелограмм имеет равные смежные стороны. Подставляя значения, получаем:

\[84^2 = 40^2 + b^2\]
\[7056 = 1600 + b^2\]
\[b^2 = 7056 - 1600\]
\[b^2 = 5456\]
\[b \approx 73.91\]

Теперь, найдем высоту параллелограмма, проведенную к смежной стороне. Обозначим ее \(h\). Используя формулу для площади параллелограмма и выразив высоту:

\[h = \frac{S}{a}\]

\[h = \frac{S}{40}\]

Подставляя длину смежной стороны a = 40 см и площадь S = b \cdot h (так как боковая сторона и высота образуют прямоугольный треугольник):

\[\frac{S}{40} = \frac{73.91 \cdot h}{40}\]

Теперь мы можем решить уравнение для высоты \(h\). Подставляя найденные значения, получаем:

\[\frac{73.91 \cdot h}{40} = \frac{7056 \cdot h}{1600}\]
\[73.91 \cdot 1600 = 7056 \cdot h\]
\[h = \frac{73.91 \cdot 1600}{7056}\]
\[h \approx 16.75\]

Теперь, зная высоту \(h\) и длину смежной стороны \(a\), мы можем найти площадь параллелограмма, подставив значения в формулу:

\[S = a \cdot h\]
\[S = 40 \cdot 16.75\]
\[S \approx 670\]

Таким образом, площадь параллелограмма MNKP равна примерно 670 квадратных сантиметров.

Задача 3:
Для определения площади трапеции MNKL, мы можем использовать формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (m+n) \cdot h\]

где \(m\) и \(n\) - длины параллельных сторон (оснований) трапеции, а \(h\) - высота, проведенная между основаниями. В нашем случае, \(m = NL = 29\), \(n = MK = 30\), а \(h = MN = 5\). Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (29 + 30) \cdot 5\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 59 \cdot 5\]
\[S = 147.5\]

Таким образом, площадь трапеции MNKL равна 147.5 квадратных сантиметров.

Задача 4:
Если в треугольнике MNK известны длины сторон MN = 18, NK = 24 и KM = 30, мы можем использовать формулу для высоты треугольника, проведенной из точки K к стороне MN:

\[h = \frac{2 \cdot S}{b}\]

где \(S\) - площадь треугольника, а \(b\) - длина стороны, к которой проведена высота. В нашем случае, нам известны все три стороны треугольника.

Сначала найдем полупериметр треугольника, используя формулу:

\[s = \frac{a + b + c}{2}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника MNK. В нашем случае:

\[s = \frac{18 + 24 + 30}{2}\]
\[s = \frac{72}{2}\]
\[s = 36\]

Теперь, найдем площадь треугольника, используя формулу Герона:

\[S = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}\]

Подставляем значения:

\[S = \sqrt{36 \cdot (36-18) \cdot (36-24) \cdot (36-30)}\]
\[S = \sqrt{36 \cdot 18 \cdot 12 \cdot 6}\]
\[S = \sqrt{46656}\]
\[S = 216\]

Теперь, подставим значения в формулу для высоты:

\[h = \frac{2 \cdot S}{b}\]
\[h = \frac{2 \cdot 216}{18}\]
\[h = \frac{432}{18}\]
\[h = 24\]

Таким образом, высота треугольника, проведенная из точки K к стороне MN, равна 24.

Задача 5:
Для определения площади треугольника, образованного двумя сторонами ромба PRTD и диагональю, мы можем использовать формулу Герона:

\[S = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-d)}\]

где \(s\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), и \(d\) - длины сторон ромба PRTD. В нашем случае, сторона ромба равна 41 см, а диагональ равна 18 см.

Сначала найдем полупериметр треугольника, используя формулу:

\[s = \frac{a + b + d}{2}\]

где \(a\), \(b\), и \(d\) - длины сторон ромба PRTD:

\[s = \frac{41 + 41 + 18}{2}\]
\[s = \frac{100}{2}\]
\[s = 50\]

Теперь, найдем площадь треугольника:

\[S = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-d)}\]
\[S = \sqrt{50 \cdot (50-41) \cdot (50-41) \cdot (50-18)}\]
\[S = \sqrt{50 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 32}\]
\[S = \sqrt{129600}\]
\[S = 360\]

Таким образом, площадь треугольника, образованного двумя сторонами ромба PRTD и диагональю, равна 360 квадратных сантиметров.