2.14. Какова величина электрического поля в обеих полостях после прорезания двух узких полостей в толще однородного

Для решения этой задачи нам потребуется использовать законы Гаусса и распределение электрического поля в диэлектриках.

Первым шагом рассмотрим полость 1, ориентированную параллельно полю. Используем закон Гаусса для определения электрического поля внутри полости.

По закону Гаусса, поток электрического поля через закрытую поверхность равен сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на относительную проницаемость вакуума.

Поскольку полость является узкой, мы можем считать ее плоской и использовать прямоугольный контур в качестве закрытой поверхности. При этом электрическое поле будет направлено перпендикулярно поверхности.

Используя граничные условия для векторов электрического поля, мы можем утверждать, что электрическое поле имеет одинаковую величину в обеих полостях после прорезания. Поэтому, обозначим величину электрического поля в обеих полостях как E.

Теперь, применяя закон Гаусса к полости 1, можем записать уравнение:

\[\Phi_1 = E \cdot S = \frac{Q}{\varepsilon_{\text{вак}}}.\]

Где:
\(\Phi_1\) - поток электрического поля через поверхность полости 1,
\(S\) - площадь поверхности полости 1,
\(Q\) - заряд, заключенный внутри полости 1,
\(\varepsilon_{\text{вак}}\) - относительная проницаемость вакуума.

По определению вектора электрического поля, поток электрического поля равен произведению модуля электрического поля на площадь поверхности:

\[\Phi_1 = E \cdot S.\]

А заряд, заключенный внутри полости 1, в толще однородного диэлектрика можно записать как:

\[Q = \varepsilon \cdot \varepsilon_{\text{вак}} \cdot S \cdot E,\]

где \(\varepsilon\) - электрическая постоянная диэлектрика.

Подставляя эти значения в уравнение, получим:

\[E \cdot S = \frac{\varepsilon \cdot \varepsilon_{\text{вак}} \cdot S \cdot E}{\varepsilon_{\text{вак}}}.\]

Упрощая уравнение и сокращая площадь поверхностей, получим:

\[E = \varepsilon.\]

Таким образом, величина электрического поля в обеих полостях после прорезания двух узких полостей в толще однородного диэлектрика с известной относительной проницаемостью \(\varepsilon\) будет равна \(\varepsilon\).