1Однажды, когда Федор Симеонович был в гостях у Генри Кавендиша, он прочитал письмо Джона Митчела о названных им темных

Для того чтобы описать, каким должен быть радиус темной звезды, чтобы она была невидима для внешнего наблюдателя с расстояния, превышающего \( R \), воспользуемся теориями Джона Митчела, а именно законами Ньютона о притяжении, механикой Ньютона и корпускулярной оптикой.

Начнем с применения закона всемирного гравитационного притяжения Ньютона. Закон Ньютона гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Таким образом, сила притяжения между "темной звездой" массой \( m \) и внешним наблюдателем массой \( M \) будет равна:

\[ F = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^2} \]

где \( G \) - гравитационная постоянная, \( R \) - расстояние между темной звездой и наблюдателем.

Теперь рассмотрим световое излучение от "темной звезды". Согласно корпускулярной оптике, свет является потоком фотонов, которые распространяются в прямолинейных лучах. Если эти лучи попадают на препятствие, они могут быть отражены, преломлены или поглощены.

В нашем случае свет от "темной звезды" не может достичь внешнего наблюдателя из-за притяжения звезды. Для того чтобы световые лучи могли достичь наблюдателя, они должны преодолеть силу притяжения "темной звезды". Известно, что сила притяжения является причиной гравитационного падения, а свет движется с постоянной скоростью. Таким образом, чтобы световые лучи могли достичь наблюдателя, необходимо, чтобы пройденное ими расстояние за время пути света не превысило расстояние между "темной звездой" и наблюдателем, \( R \).

Теперь мы можем установить условие, чтобы "темная звезда" была невидима для внешнего наблюдателя:

\[ R \leq \frac{c \cdot T}{2} \]

где \( c \) - скорость света, \( T \) - время пути световых лучей от "темной звезды" до наблюдателя.

Чтобы найти время пути, можем использовать уравнение движения с постоянным равноускоренным движением:

\[ R = \frac{1}{2} \cdot a \cdot T^2 \]

где \( a \) - ускорение, вызванное гравитацией "темной звезды".

Совместно решая уравнения, получаем:

\[ T = \sqrt{\frac{2R}{a}} \]

Подставляя это значение в условие, получаем:

\[ R \leq \frac{c}{2} \cdot \sqrt{\frac{2R}{a}} \]

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе части уравнения в квадрат:

\[ R^2 \leq \frac{c^2}{4} \cdot \frac{2R}{a} \]

\[ R^3 \leq \frac{c^2}{2a} \]

Таким образом, для того чтобы "темная звезда" была невидима для внешнего наблюдателя с расстояния, превышающего \( R \), ее радиус \( R \) должен удовлетворять условию:

\[ R^3 \leq \frac{c^2}{2a} \]

где \( a \) - ускорение, вызванное гравитацией "темной звезды".

Однако, для полной математической обоснованности данного вывода необходимо уточнить точные значения гравитационной постоянной \( G \), скорости света \( c \), массы \( m \) и ускорения \( a \) "темной звезды". Только имея эти значения, можно точно определить минимальный радиус "темной звезды", чтобы она была невидима для наблюдателя с заданного расстояния.