1a) Какова ширина прямоугольника, имеющего такую же площадь, если его длина составляет 16 см, а стороны равны 8 см

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1a) Нам дана длина прямоугольника, которая равна 16 см, а также две другие стороны, которые равны 8 см и 20 см. Мы хотим найти ширину прямоугольника.

Пусть ширина прямоугольника равна \(x\) см. Площадь прямоугольника определяется как произведение его длины и ширины. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[16 \cdot x = 8 \cdot 20\]

Давайте решим это уравнение:

\[16x = 160\]
\[x = \frac{160}{16}\]
\[x = 10\]

Итак, ширина прямоугольника равна 10 см.

1b) Теперь давайте рассмотрим вопрос о диагоналях прямоугольников.

Для первого прямоугольника с шириной 10 см мы можем найти диагональ с использованием теоремы Пифагора. Пусть одна сторона равна 10 см, а другая - 16 см. Обозначим диагональ как \(d\). Тогда у нас есть следующее уравнение:

\[d^2 = 10^2 + 16^2\]
\[d^2 = 100 + 256\]
\[d^2 = 356\]
\[d \approx 18.88\]

Теперь рассмотрим второй прямоугольник. Для него одна сторона равна 10 см, а другая - 20 см. Обозначим его диагональ как \(d"\). Тогда у нас есть следующее уравнение:

\[d"^2 = 10^2 + 20^2\]
\[d"^2 = 100 + 400\]
\[d"^2 = 500\]
\[d" \approx 22.36\]

Таким образом, диагонали этих прямоугольников не равны друг другу.

2) В этой задаче нам дан треугольник ABC с углом А, равным 45°. Высота ВН делит сторону AC на отрезки AB и BC, которые равны 6 см и 9 см соответственно. Мы хотим найти площадь треугольника ABC.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]

В данном случае основание треугольника - это сторона AC, а высота - это высота ВН.

Мы знаем, что сторона AB равна 6 см, сторона BC равна 9 см, а угол А равен 45°.

Чтобы найти высоту ВН, мы можем использовать соотношение тангенса угла 45°:

\[\tan(45°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\]

В нашем случае противолежащим катетом является сторона AB, а прилежащим катетом - сторона BC. Подставим значения и решим уравнение:

\[\tan(45°) = \frac{AB}{BC}\]
\[1 = \frac{6}{BC}\]

Отсюда получаем, что \(BC = 6\) см.

Затем мы можем найти высоту ВН, используя теорему Пифагора:

\[BC^2 = AB^2 + НN^2\]
\[6^2 = 6^2 + НN^2\]
\[NN^2 = 36 - 36\]
\[NN = 0\]

Таким образом, высота ВН равна 0 см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot НN\]
\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 0\]
\[Площадь = 0\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 0.

3) В данной задаче нам дана равнобедренная трапеция с основаниями 14 и 26, а периметр составляет 60. Мы хотим найти площадь этой трапеции.

Для начала, поскольку это равнобедренная трапеция, мы знаем, что боковые стороны равны. Пусть одна боковая сторона равна \(a\) см.

Сумма длин всех сторон равна периметру, поэтому мы можем составить следующее уравнение:

\[14 + 26 + 2a = 60\]

Решим это уравнение:

\[40 + 2a = 60\]
\[2a = 20\]
\[a = 10\]

Таким образом, одна боковая сторона равна 10 см.

Теперь мы можем найти высоту трапеции. Высота, которая перпендикулярна основаниям, является катетом прямоугольного треугольника, образованного половиной разницей оснований и боковой стороной.

Пусть разница оснований равна \(h\) см. Тогда у нас есть следующее уравнение:

\[(26 - 14)^2 = h^2 + 10^2\]
\[12^2 = h^2 + 100\]
\[144 = h^2 + 100\]
\[h^2 = 44\]
\[h = \sqrt{44}\]
\[h \approx 6.63\]

Таким образом, высота трапеции равна примерно 6.63 см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h\]
\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot (14 + 26) \cdot 6.63\]
\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 6.63\]
\[Площадь \approx 132.6\]

Таким образом, площадь трапеции составляет примерно 132.6 квадратных сантиметра.