15. В ромбе с углом 60° и диагональю равной 4, внутренняя окружность вписана. Какова разница длин отрезков, на которые

Давайте решим задачу.

Для начала, давайте построим ромб и обозначим известные величины. Мы знаем, что угол в ромбе равен 60°, а диагональ равна 4.

\[geometry \ diagram\]

Для нахождения разницы длин отрезков, на которые точка касания делит сторону ромба, нам понадобится найти радиус вписанной окружности и выразить разницу длин через него.

Давайте обратимся к геометрическим свойствам ромба. Известно, что в ромбе диагонали делятся точкой пересечения в отношении 1:1. Это означает, что каждая диагональ делится на две равные части.

Таким образом, мы можем разделить диагональ равностороннего треугольника (который образуется в ромбе) на две равные части и обозначить полученные отрезки как \(x\) и \(x\).

\[geometry \ diagram\]

Теперь проведем биссектрису угла, образованного основанием треугольника и одной из его сторон. Так как угол треугольника равен 60°, то биссектриса будет делить основание треугольника на две равные части.

\[geometry \ diagram\]

Обозначим половину основания треугольника как \(y\) и найдем радиус окружности, вписанной в треугольник. Радиус вписанной окружности является высотой равнобедренного треугольника, опущенной из вершины на его основание.

Используя свойства равнобедренного треугольника, мы можем выразить радиус вписанной окружности. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника: \(S = \frac{{bh}}{2}\), где \(b\) - основание, \(h\) - высота.

В данном случае, мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на длину высоты, то есть \(S = \frac{{4y}}{2} = 2y\).

Также из геометрических свойств равнобедренного треугольника известно, что высота равна \(\sqrt{3} \times\) сторона треугольника. Таким образом, мы можем записать \(2y = \sqrt{3} \times y\).

Разделив обе части равенства на \(y\), получим \(\sqrt{3} = 2\).

Теперь, зная радиус вписанной окружности (который мы выразили как \(y\)), мы можем найти разницу длин отрезков, на которые точка касания делит сторону ромба.

Эта разница может быть выражена как сумма длин отрезков \(x\) и \(x\) минус удвоенный радиус: \(2x - 2y\).

Подставляя найденное значение радиуса \(\sqrt{3}\) вместо \(y\), мы получаем:

\[2x - 2\sqrt{3}\]

Теперь нам нужно найти значение \(x\). Рассмотрим треугольник, образованный половинным основанием треугольника и отрезком, на который точка касания делит сторону ромба.

\[geometry \ diagram\]

Здесь мы можем применить теорему Пифагора для нахождения значения \(x\).

Катеты треугольника равны \(x\) и половине основания (обозначено как \(y\)). Гипотенуза равна длине стороны ромба.

Применяя теорему Пифагора, мы получим:

\[x^2 + y^2 = (\frac{d}{2})^2\]
\[x^2 + (\frac{x}{2})^2 = (\frac{4}{2})^2\]
\[x^2 + \frac{x^2}{4} = 2^2\]
\[4x^2 + x^2 = 4^2 \times 4\]
\[5x^2 = 16\]
\[x^2 = \frac{16}{5}\]
\[x = \sqrt{\frac{16}{5}}\]
\[x = \frac{4}{\sqrt{5}}\]

Теперь мы можем выразить разницу длин отрезков через значение \(x\):

\[2x - 2\sqrt{3} = 2 \times \frac{4}{\sqrt{5}} - 2\sqrt{3}\]

Для удобства, давайте рационализируем знаменатель:

\[2x - 2\sqrt{3} = \frac{2 \times 4\sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} - 2\sqrt{3}\]
\[2x - 2\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{5^2}} - 2\sqrt{3}\]
\[2x - 2\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{5}}{5} - 2\sqrt{3}\]

Теперь нам остается только вычислить это выражение:

\[2x - 2\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{5}}{5} - 2\sqrt{3} \approx 1.142\]

Таким образом, разница длин отрезков, на которые точка касания делит сторону ромба, равна приблизительно 1,142.

Ответ: Е) 1,2