14.39. Каков угол между плоскостью BAD и плоскостью BCD в тетраэдре DABC? Значения сторон и отрезков уже указаны

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства тетраэдра и знания о плоскостях.

Дано, что у нас есть тетраэдр DABC, и нам нужно найти угол между плоскостью BAD и плоскостью BCD.

Для начала, давайте посмотрим на рисунок и обозначим известные нам значения.

(вставка рисунка тетраэдра с обозначенными отрезками)

Обратим внимание, что угол между плоскостью BAD и плоскостью BCD будет равен углу между нормалями к этим плоскостям.

Нормаль к плоскости BAD можно найти, рассмотрев векторное произведение векторов BA и BD:

\[\vec{n}_{\text{BAD}} = \vec{BA} \times \vec{BD}\]

Аналогично, для плоскости BCD:

\[\vec{n}_{\text{BCD}} = \vec{BC} \times \vec{BD}\]

Теперь, чтобы найти угол между этими нормалями, мы можем воспользоваться формулой для скалярного произведения двух векторов:

\[\cos \theta = \frac{\vec{n}_{\text{BAD}} \cdot \vec{n}_{\text{BCD}}}{|\vec{n}_{\text{BAD}}| \cdot |\vec{n}_{\text{BCD}}|}\]

где \(\theta\) - искомый угол, \(\cdot\) - скалярное произведение векторов, и \(|\cdot|\) - длина вектора.

Теперь, чтобы получить значение угла, необходимо вычислить значения всех векторов и подставить их в эту формулу.

Например, для вектора \(\vec{BA}\) мы можем воспользоваться координатами точек B и A:

\[\vec{BA} = \begin{pmatrix} x_A - x_B \\ y_A - y_B \\ z_A - z_B \end{pmatrix}\]

Аналогично, для других векторов:

\[\vec{BD} = \begin{pmatrix} x_D - x_B \\ y_D - y_B \\ z_D - z_B \end{pmatrix}\]
\[\vec{BC} = \begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C - y_B \\ z_C - z_B \end{pmatrix}\]

Где \(x_A, y_A, z_A\) - координаты точки A и так далее.

Теперь, для нахождения нормалей мы можем воспользоваться векторным произведением:

\[\vec{n}_{\text{BAD}} = \vec{BA} \times \vec{BD}\]
\[\vec{n}_{\text{BCD}} = \vec{BC} \times \vec{BD}\]

Подставляем эти значения в формулу скалярного произведения, чтобы найти значение угла \(\theta\):

\[\cos \theta = \frac{\vec{n}_{\text{BAD}} \cdot \vec{n}_{\text{BCD}}}{|\vec{n}_{\text{BAD}}| \cdot |\vec{n}_{\text{BCD}}|}\]

Вычисляем значение выражения справа и получаем значение угла \(\theta\).

Таким образом, мы можем использовать эти шаги для решения задачи о нахождении угла между плоскостью BAD и плоскостью BCD в тетраэдре DABC.