13.7. На рисунке изображены два раздела параллельных проводников с противоположными токами: ток в проводнике i₁

Для того чтобы найти точку, в которой индукция результирующего магнитного поля равна нулю, нужно рассмотреть силы, создаваемые проводниками, их интенсивности и направления.

Дано, что на рисунке изображены два раздела параллельных проводников с противоположными токами. Обозначим ток в первом проводнике как \(i_1\) и ток во втором проводнике \(i_2\). По условию задачи, \(i_1 = 2i_2\).

Так как проводники находятся рядом, они оказывают взаимное воздействие друг на друга. Это взаимодействие проявляется через создание магнитного поля вокруг каждого проводника.

Применим закон Био-Савара-Лапласа, который гласит, что индукция магнитного поля \(b\) в точке \(\rho\) вокруг проводника пропорциональна току проводника и обратно пропорциональна расстоянию до этой точки:

\[b = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2\pi \cdot \rho}}\]

где \(I\) - интенсивность тока проводника, \(\mu_0\) - магнитная постоянная, \(\rho\) - расстояние от проводника до точки.

Итак, у нас есть два проводника с разными токами. Мы хотим найти точку на интервале, где индукция результирующего магнитного поля равна нулю.

Предположим, что эта точка находится между проводниками. Обозначим эту точку как \(M\). Для нахождения индукции магнитного поля в точке \(M\) воспользуемся принципом суперпозиции, который гласит, что сумма магнитных полей, создаваемых каждым проводником, равна результирующему магнитному полю в точке \(M\).

Построим отрезок \(MA\) от первого проводника и отрезок \(MB\) от второго проводника. Пусть длина отрезка \(MA\) равна \(x\), а длина отрезка \(MB\) равна \(L - x\), где \(L\) - расстояние между проводниками.

Так как индукция магнитного поля обратно пропорциональна расстоянию до точки, то индукция магнитного поля в точке \(M\) от первого проводника будет равна:

\[b_1 = \frac{{\mu_0 \cdot i_1}}{{2\pi \cdot x}}\]

Индукция магнитного поля в точке \(M\) от второго проводника равна:

\[b_2 = \frac{{\mu_0 \cdot i_2}}{{2\pi \cdot (L - x)}}\]

Так как индукция магнитного поля создаваемого первым проводником противоположна индукции магнитного поля создаваемого вторым проводником, то сумма этих полей равна нулю:

\[b_1 + b_2 = 0\]

Подставляя значения индукций магнитного поля, получаем:

\[\frac{{\mu_0 \cdot i_1}}{{2\pi \cdot x}} + \frac{{\mu_0 \cdot i_2}}{{2\pi \cdot (L - x)}} = 0\]

Упрощая уравнение, получим:

\[\frac{{i_1}}{{x}} + \frac{{i_2}}{{L - x}} = 0\]

У нас изначально дано, что \(i_1 = 2i_2\). Подставим это в уравнение:

\[\frac{{2i_2}}{{x}} + \frac{{i_2}}{{L - x}} = 0\]

Умножим уравнение на \(x(L-x)\) для устранения знаменателей:

\[2i_2(L-x) + i_2x = 0\]

Раскроем скобки:

\[2i_2L - 2i_2x + i_2x = 0\]

Упростим:

\[2i_2L - i_2x = 0\]

\[2L - x = 0\]

\[x = 2L\]

Таким образом, точка \(M\) будет находиться в \(2L\) от первого проводника. Мы можем сделать вывод, что ответ на задачу - точка \(c\), обозначающая \(2L\).