11 класс. Найдите длину образующей конуса, если радиус его основания равен 6 см, а высота в два раза меньше длины

Чтобы найти длину образующей конуса, нам понадобится применить теорему Пифагора для треугольника, образующегося поперечным сечением конуса.

В данной задаче мы имеем следующую информацию:
- Радиус основания конуса равен 6 см.
- Высота конуса в два раза меньше длины образующей.

Обозначим высоту конуса через \(h\) и длину образующей через \(l\).

По условию, высота \(h\) равна половине длины образующей, то есть \(h = \frac{l}{2}\).

Также известно, что радиус основания \(r\) равен 6 см.

Создадим прямоугольный треугольник, используя полуразмер основания \(r\), высоту \(h\) и образующую \(l\).

Применим теорему Пифагора для этого треугольника:
\[l^2 = r^2 + h^2\]

Подставим значения:
\[l^2 = 6^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[l^2 = 36 + \frac{l^2}{4}\]

Перенесем все слагаемые с \(l^2\) на одну сторону уравнения:
\[l^2 - \frac{l^2}{4} = 36\]

Приведем дробь к общему знаменателю:
\[\frac{3l^2}{4} = 36\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\), чтобы избавиться от дроби:
\[l^2 = 36 \cdot \frac{4}{3}\]

Упростим:
\[l^2 = 48\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
\[l = \sqrt{48}\]

Для удобства выразим 48 как произведение квадратного числа и числа 12:
\[l = \sqrt{4 \cdot 12}\]

Раскроем корень:
\[l = \sqrt{4} \cdot \sqrt{12}\]

Упростим:
\[l = 2 \cdot 2\sqrt{3}\]

\[l = 4\sqrt{3}\]

Таким образом, длина образующей конуса равна \(4\sqrt{3}\) см.