11-го класу варіант 1 1. Якщо діагональ осьового перерізу циліндра утворює кут 45° з площиною основи, то яка висота

1. Щоб знайти висоту циліндра, спочатку перевіримо, який радіус утворює діагональ основи з площиною осьового перерізу. Знаючи, що кут між діагоналлю і площиною основи дорівнює 45°, ми можемо використати геометричну властивість прямокутного трикутника. У прямокутному трикутнику кут між діагоналлю і однією з його сторін є ${45}^{\circ }$, тому катети цього трикутника будуть рівні.

\noindent Тому, радіус основи циліндра рівний 6 см, а катети трикутника (який утворює основу циліндра і діагональ осьового перерізу) мають рівну довжину 6 см.

\noindent Враховуючи це, ми можемо скористатись піфагоровою теоремою:

$$h=\sqrt{a^2+b^2}$$

де $h$ - висота циліндра, $a$ і $b$ - катети трикутника.

$$h=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}\approx 8.49\text{см}$$

Отже, висота циліндра при радіусі його основи 6 см дорівнює близько 8.49 см.

2. Щоб знайти відстань від центра нижньої основи циліндра до відрізка, який з"єднує центр верхньої основи циліндра з точкою на колі нижньої основи, ми можемо застосувати знання про геометричні властивості кругового сектора.

\noindent Дано, що довжина відрізка дорівнює 12 см і кут між відрізком і віссю циліндра становить 30°.

\noindent Знаючи це, ми можемо обчислити радіус відрізка:

$$r=\frac{l}{\theta }$$

де $l$ - довжина відрізка, $\theta$ - величина кута в радіанах.

$$r=\frac{12}{30\text{degree}}=\frac{12}{\frac{\pi }{6}}=\frac{12\cdot 6}{\pi }=\frac{72}{\pi }\approx 22.92\text{см}$$

Тепер, щоб знайти відстань, ми використовуємо теорему Піфагора:

$$d=\sqrt{r^2-h^2}$$

де $d$ - відстань від центра нижньої основи до відрізка, $r$ - радіус відрізка, $h$ - радіус циліндра.

Для нашої задачі:

$$d=\sqrt{{\left(\frac{72}{\pi }\right)}^2-6^2}=\sqrt{\frac{5184}{{\pi }^2}-36}\approx \sqrt{5220.6957-36}\approx \sqrt{5184.6957}\approx 72.03\text{см}$$

Отже, відстань від центра нижньої основи до цього відрізка становить приблизно 72.03 см.

3. Для визначення висоти конуса, ми можемо скористатись теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику, утвореному висотою конуса, твірною та радіусом основи конуса.

\noindent За відомими даними:

Твірна конуса $c=26$ см,

Діаметр основи конуса $d=20$ см.

Радіус $r=\frac{d}{2}=\frac{20}{2}=10$ см.

За теоремою Піфагора маємо:

$$h=\sqrt{c^2-r^2}$$

Підставимо відомі значення:

$$h=\sqrt{{26}^2-{10}^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\text{см}$$

Тому, висота конуса становить 24 см.

4. Щоб знайти площу перерізу конуса, паралельного його основі на відстані 3 см від вершини, використаємо формулу площі круга.

\noindent Дано, що радіус основи конуса $r$.

\noindent Площа перерізу цього конуса буде рівна площі круга з радіусом, який можна знайти за формулою:

$$R=\sqrt{r^2+h^2}$$

де $R$ - радіус перерізу, $r$ - радіус основи, $h$ - відстань від вершини до площини перерізу.

$$R=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}\approx 6.71\text{см}$$

Отже, площа перерізу конуса при радіусі основи 6 см становить близько 6.71 см².