11-го класу варіант 1 1. Якщо діагональ осьового перерізу циліндра утворює кут 45° з площиною основи, то яка висота

1. Щоб знайти висоту циліндра, спочатку перевіримо, який радіус утворює діагональ основи з площиною осьового перерізу. Знаючи, що кут між діагоналлю і площиною основи дорівнює 45°, ми можемо використати геометричну властивість прямокутного трикутника. У прямокутному трикутнику кут між діагоналлю і однією з його сторін є \(45^\circ\), тому катети цього трикутника будуть рівні.

\noindent Тому, радіус основи циліндра рівний 6 см, а катети трикутника (який утворює основу циліндра і діагональ осьового перерізу) мають рівну довжину 6 см.

\noindent Враховуючи це, ми можемо скористатись піфагоровою теоремою:

\[
h = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

де \(h\) - висота циліндра, \(a\) і \(b\) - катети трикутника.

\[
h = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} \approx 8.49 \, \text{см}
\]

Отже, висота циліндра при радіусі його основи 6 см дорівнює близько 8.49 см.

2. Щоб знайти відстань від центра нижньої основи циліндра до відрізка, який з"єднує центр верхньої основи циліндра з точкою на колі нижньої основи, ми можемо застосувати знання про геометричні властивості кругового сектора.

\noindent Дано, що довжина відрізка дорівнює 12 см і кут між відрізком і віссю циліндра становить 30°.

\noindent Знаючи це, ми можемо обчислити радіус відрізка:

\[
r = \frac{{l}}{{\theta}}
\]

де \(l\) - довжина відрізка, \(\theta\) - величина кута в радіанах.

\[
r = \frac{{12}}{{30\degree}} = \frac{{12}}{{\frac{{\pi}}{{6}}}} = \frac{{12 \cdot 6}}{{\pi}} = \frac{{72}}{{\pi}} \approx 22.92 \, \text{см}
\]

Тепер, щоб знайти відстань, ми використовуємо теорему Піфагора:

\[
d = \sqrt{r^2 - h^2}
\]

де \(d\) - відстань від центра нижньої основи до відрізка, \(r\) - радіус відрізка, \(h\) - радіус циліндра.

Для нашої задачі:

\[
d = \sqrt{\left(\frac{{72}}{{\pi}}\right)^2 - 6^2} = \sqrt{\frac{{5184}}{{\pi^2}} - 36} \approx \sqrt{5220.6957 - 36} \approx \sqrt{5184.6957} \approx 72.03 \, \text{см}
\]

Отже, відстань від центра нижньої основи до цього відрізка становить приблизно 72.03 см.

3. Для визначення висоти конуса, ми можемо скористатись теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику, утвореному висотою конуса, твірною та радіусом основи конуса.

\noindent За відомими даними:

Твірна конуса \(c = 26\) см,

Діаметр основи конуса \(d = 20\) см.

Радіус \(r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10\) см.

За теоремою Піфагора маємо:

\[
h = \sqrt{c^2 - r^2}
\]

Підставимо відомі значення:

\[
h = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \, \text{см}
\]

Тому, висота конуса становить 24 см.

4. Щоб знайти площу перерізу конуса, паралельного його основі на відстані 3 см від вершини, використаємо формулу площі круга.

\noindent Дано, що радіус основи конуса \(r\).

\noindent Площа перерізу цього конуса буде рівна площі круга з радіусом, який можна знайти за формулою:

\[
R = \sqrt{r^2 + h^2}
\]

де \(R\) - радіус перерізу, \(r\) - радіус основи, \(h\) - відстань від вершини до площини перерізу.

\[
R = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} \approx 6.71 \, \text{см}
\]

Отже, площа перерізу конуса при радіусі основи 6 см становить близько 6.71 см².