10. Сколько слов длиной 6 в алфавите {a, b, c, d} с одним a больше, чем b? 11. Сколько слов длиной 7 в алфавите

Давайте решим каждую задачу по порядку:

10. Сколько слов длиной 6 в алфавите {a, b, c, d} с одним a больше, чем b?

Чтобы решить эту задачу, мы можем рассмотреть все возможные варианты и подсчитать количество слов, где a встречается больше, чем b.

В алфавите {a, b, c, d} у нас есть 4 буквы. Чтобы сформировать слово длиной 6, мы должны выбрать 6 букв из этого алфавита.

Если a будет встречаться больше, чем b, то у нас есть несколько вариантов:

1) a встречается 2 раза, b встречается 1 раз, остальные буквы - любые. Таких слов будет \({{6}\choose{2}} \cdot 1 \cdot 3^3 = 15 \cdot 1 \cdot 3^3 = 135\) слов.

2) a встречается 3 раза, b встречается 2 раза, остальные буквы - любые. Таких слов будет \({{6}\choose{3}} \cdot {{3}\choose{2}} \cdot 3^1 = 20 \cdot 3 \cdot 3^1 = 180\) слов.

3) a встречается 4 раза, b встречается 3 раза, остальные буквы - любые. Таких слов будет \({{6}\choose{4}} \cdot {{3}\choose{3}} \cdot 3^0 = 15 \cdot 1 \cdot 3^0 = 15\) слов.

Суммируя все варианты, мы получаем общее количество слов длиной 6 с одним a больше, чем b: 135 + 180 + 15 = 330 слов.

11. Сколько слов длиной 7 в алфавите {a, b, c, d} с одинаковым количеством a и b?

Аналогичным образом, мы можем рассмотреть все возможные варианты и подсчитать количество слов, в которых a и b встречаются одинаковое количество раз.

В алфавите {a, b, c, d} у нас есть 4 буквы. Чтобы сформировать слово длиной 7, мы должны выбрать 7 букв из этого алфавита.

Если a и b встречаются одинаковое количество раз, то у нас есть несколько вариантов:

1) a встречается 3 раза, b встречается 3 раза, остальные буквы - любые. Таких слов будет \({{7}\choose{3}} \cdot {{4-3}\choose{3}} = 35 \cdot 1 = 35\) слов.

2) a встречается 4 раза, b встречается 4 раза, остальные буквы - любые. Таких слов будет \({{6}\choose{4}} \cdot {{4-4}\choose{4}} = 15 \cdot 1 = 15\) слов.

Суммируя все варианты, мы получаем общее количество слов длиной 7 с одинаковым количеством a и b: 35 + 15 = 50 слов.

12. Сколько слов длиной 6 в алфавите {a, b, c, d} с таким же количеством a, как b и c вместе взятые?

Аналогично предыдущим задачам, мы можем рассмотреть все возможные варианты и посчитать количество слов, в которых a встречается столько же раз, сколько b и c вместе.

В алфавите {a, b, c, d} у нас есть 4 буквы. Чтобы сформировать слово длиной 6, мы должны выбрать 6 букв из этого алфавита.

Если a встречается столько же раз, сколько b и c вместе, то у нас есть несколько вариантов:

1) a встречается 2 раза, b и c встречаются по 2 раза, остальные буквы - любые. Таких слов будет \({{6}\choose{2}} \cdot {{4-2}\choose{2}} = 15 \cdot 1 = 15\) слов.

2) a встречается 3 раза, b и c встречаются по 3 раза, остальные буквы - любые. Таких слов будет \({{6}\choose{3}} \cdot {{4-3}\choose{3}} = 20 \cdot 1 = 20\) слов.

Суммируя все варианты, мы получаем общее количество слов длиной 6 с таким же количеством a, как b и c: 15 + 20 = 35 слов.

13. Сколько слов длиной 8 в алфавите {a, b, c, d} с двумя a и по крайней мере тремя b?

Для решения этой задачи мы можем рассмотреть все возможные варианты и посчитать количество слов, в которых есть ровно две a и по крайней мере три b.

В алфавите {a, b, c, d} у нас есть 4 буквы. Чтобы сформировать слово длиной 8, мы должны выбрать 8 букв из этого алфавита.

Чтобы найти количество слов с двумя a и по крайней мере тремя b, мы можем рассмотреть два случая:

1) a встречается 2 раза, b встречается 3 раза, остальные буквы - любые. Таких слов будет \({{8}\choose{2}} \cdot {{6}\choose{3}} \cdot 2^3 = 28 \cdot 20 \cdot 8 = 4480\) слов.

2) a встречается 2 раза, b встречается больше 3 раз, остальные буквы - любые. Таких слов будет \({{8}\choose{2}} \cdot \left({{6}\choose{4}} + {{6}\choose{5}} + {{6}\choose{6}}\right) \cdot 2^4 = 28 \cdot (15 + 6 + 1) \cdot 16 = 28 \cdot 22 \cdot 16 = 9856\) слов.

Суммируя оба случая, мы получаем общее количество слов длиной 8 с двумя a и по крайней мере тремя b: 4480 + 9856 = 14336 слов.

14. Сколько слов длиной 5 в алфавите {a, b, c, d}, которые содержат букву d?

Чтобы решить эту задачу, мы можем рассмотреть все возможные случаи и посчитать количество слов, в которых присутствует буква d.

В алфавите {a, b, c, d} у нас есть 4 буквы. Чтобы сформировать слово длиной 5, мы должны выбрать 5 букв из этого алфавита.

Чтобы слово содержало букву d, у нас есть несколько вариантов:

1) d занимает первую позицию, остальные позиции заполняются любыми буквами. Таких слов будет \(1 \cdot 3^4 = 81\) слово.

2) d занимает вторую позицию, остальные позиции заполняются любыми буквами. Таких слов будет \(1 \cdot 3^3 = 27\) слов.

3) d занимает третью позицию, остальные позиции заполняются любыми буквами. Таких слов будет \(1 \cdot 3^2 = 9\) слов.

4) d занимает четвертую позицию, остальные позиции заполняются любыми буквами. Таких слов будет \(1 \cdot 3^1 = 3\) слова.

5) d занимает последнюю позицию, остальные позиции заполняются любыми буквами. Таких слов будет \(1 \cdot 3^4 = 81\) слово.

Суммируя все варианты, мы получаем общее количество слов длиной 5, которые содержат букву d: 81 + 27 + 9 + 3 + 81 = 201 слово.

Надеюсь, эти решения помогут вам лучше понять поставленные задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!