10.40. На стороне АВ тетраэдра DABC была выбрана точка К, так что длина AK в два раза больше длины ВК. Известно

Чтобы построить сечение тетраэдра, проходящее через точку К и перпендикулярное к прямой AD, нам понадобится найти координаты точки К. Затем мы сможем построить эту плоскость и найти площадь сечения.

Давайте начнем с нахождения координат точки К. По условию, длина AK в два раза больше длины ВК. Поскольку длина AD равна 14 см, то длина ВК будет равна половине этой величины, то есть 7 см. Для определения положения точки К мы будем использовать векторное равенство AK = AD - DK, где DK - это вектор, направленный от точки D в точку К.

Зная длины сторон CD, DB и AD, мы можем найти вектор DK, используя свойство внешнего тройного произведения. Пусть векторы \(\vec{CD}\), \(\vec{DB}\) и \(\vec{AD}\) образуют соответственно вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Вектор DK будет равен \(\vec{DK} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}\).

Теперь мы знаем, что вектор AK равен \(\vec{AK} = \vec{AD} - \vec{DK}\). Подставляя значения векторов, получим \(\vec{AK} = 14\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b}\).

Зная вектор AK, мы можем выразить координаты точки К. Для этого представим вектор AK в виде суммы векторов AB, BC и CK:

\(\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CK}\).

Подставляя значения векторов, получим:

\(\vec{AK} = 13\vec{b} + 15\vec{c} + \vec{CK}\).

Из этого уравнения мы можем выразить вектор CK:

\(\vec{CK} = \vec{AK} - 13\vec{b} - 15\vec{c}\).

Значения векторов выше можно представить как линейные комбинации исходных векторов, связанных с координатами точки К:

\(\vec{CK} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}\).

Подставляя значения векторов, получим:

\(\vec{CK} = (14 - \frac{2}{3})\vec{i} + (0 - \frac{1}{3})\vec{j} + (0 - 0)\vec{k}\).

Отсюда можно получить значения координат точки К: \(CK: x = \frac{40}{3}\), \(y = -\frac{1}{3}\), \(z = 0\).

Теперь мы имеем все необходимые сведения для построения плоскости, проходящей через точку К и перпендикулярной к прямой AD.

Чтобы построить такую плоскость, возьмем любую прямую, проходящую через К, и перпендикулярную AD. Мы можем использовать вектор DK в качестве такой прямой. Пусть \(A"\), \(B"\), \(C"\) - это проекции точек A, B, C на плоскость КDK. Тогда построенная плоскость будет проходить через точки \(A"\), \(B"\), \(C"\) и К.

Чтобы найти площадь сечения, построим четырехугольник \(A"B"C"K\) в плоскости. Площадь этого четырехугольника будет являться искомой площадью сечения тетраэдра.

Таким образом, мы рассмотрели все необходимые шаги для построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точку К и перпендикулярной к прямой AD, а также нашли площадь этого сечения.