1. Знайти координати середини відрізка між точками С(0; 4) і Д(2; 8). 2. Записати значення кутового коефіцієнта

Добро пожаловать! Я рад помочь с решением ваших задач. Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1. Чтобы найти координаты середины отрезка между точками С(0; 4) и Д(2; 8), мы можем использовать формулу для нахождения среднего значения двух чисел. Формула для координат x и y середины отрезка выглядит следующим образом:

\(x_{mid} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\)
\(y_{mid} = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\)

Подставляя значения точек С и Д, получим:

\(x_{mid} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1\)
\(y_{mid} = \frac{{4 + 8}}{2} = 6\)

Таким образом, координаты середины отрезка между С(0; 4) и Д(2; 8) составляют (1; 6).

2. Значение кутового коэффициента в уравнении прямой \(y = 3x + 5\) равно 3. Это значение соответствует коэффициенту при переменной x.

3. Для определения координат центра и радиуса окружности, заданной уравнением \((x - 3)x^2 + (y - 4)x^2 = 4\), нужно привести уравнение к стандартному виду окружности \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\).
Давайте раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(x^3 - 3x^2 + y^2 - 4x^2 = 4\)
\(x^3 - 7x^2 + y^2 = 4\)

Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартном виде. Мы видим, что коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) равны 1. То есть, \(h = -\frac{-7}{2} = 3.5\) и \(k = 0\). А чтобы найти радиус, нужно вычислить \(\sqrt{r^2} = \sqrt{4}\). Получаем r = 2.

Таким образом, координаты центра окружности равны (3.5; 0), а радиус равен 2.

4. Для нахождения расстояния между точками Р(-3; 5) и Q(1; 2) мы можем использовать формулу дистанции между двумя точками в декартовой системе координат:

\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

Подставляя значения, получаем:

\(d = \sqrt{{(1 - (-3))^2 + (2 - 5)^2}}\)
\(d = \sqrt{{4^2 + (-3)^2}}\)
\(d = \sqrt{{16 + 9}}\)
\(d = \sqrt{{25}}\)
\(d = 5\)

Таким образом, расстояние между точками Р(-3; 5) и Q(1; 2) равно 5.

5. Чтобы записать уравнение окружности с центром в точке О(2; -4) и радиусом \(\sqrt{5}\), мы можем использовать стандартную формулу окружности \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\).

Подставляя значения, получаем:

\((x - 2)^2 + (y + 4)^2 = (\sqrt{5})^2\)
\((x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 5\)

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке О(2; -4) и радиусом \(\sqrt{5}\) записывается как \((x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 5\).

6. Значение кутового коэффициента в уравнении прямой \(2x - 4y - 7 = 0\) равно \(\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\).

7. Чтобы доказать, что треугольник с вершинами в точках А(0; -3), В(2; 3) и С(6; -1) является ранобедренным с основанием AC, нам нужно проверить, равны ли длины боковых сторон AB и BC.

Длина стороны AB:
\(AB = \sqrt{{(2 - 0)^2 + (3 - (-3))^2}}\)
\(AB = \sqrt{{2^2 + 6^2}}\)
\(AB = \sqrt{{4 + 36}}\)
\(AB = \sqrt{{40}}\)

Длина стороны BC:
\(BC = \sqrt{{(6 - 2)^2 + (-1 - 3)^2}}\)
\(BC = \sqrt{{4^2 + (-4)^2}}\)
\(BC = \sqrt{{16 + 16}}\)
\(BC = \sqrt{{32}}\)

Мы видим, что \(AB \neq BC\), поэтому треугольник не является ранобедренным с основанием AC.

8. Чтобы записать уравнение окружности, нам нужно знать ее центр и радиус. Пожалуйста, уточните, какие координаты имеются для центра окружности и каков радиус. Я с удовольствием помогу вам записать уравнение.