1) За сколько часов плоты проплывут это расстояние, если катер проплыл 72 км между пристанями по течению реки

Задача 1:
Для начала, определим скорость катера по течению и против течения.

Пусть $V_t$ - скорость течения реки, $V_k$ - скорость катера в стоячей воде.

Катер, плывущий по течению реки, эффективно двигается с суммарной скоростью $V_k+V_t$, а плывущий против течения - с суммарной скоростью $V_k-V_t$.

Итак, из условия задачи, мы знаем, что катер проплыл 72 км по течению за 2 часа:

$$V_k+V_t=\frac{72}{2}=36$$

А также катер проплыл 72 км против течения за 3 часа:

$$V_k-V_t=\frac{72}{3}=24$$

Решим эту систему уравнений для определения $V_k$ и $V_t$.

Сложим эти два уравнения:

$$(V_k+V_t)+(V_k-V_t)=36+24$$
$$2V_k=60$$
$$V_k=\frac{60}{2}=30$$

Теперь подставим найденное значение $V_k$ в одно из уравнений:

$$30+V_t=36$$
$$V_t=36-30$$
$$V_t=6$$

Итак, скорость катера в стоячей воде ($V_k$) равна 30 км/ч, а скорость течения реки ($V_t$) равна 6 км/ч.

Теперь, чтобы определить время, за которое проплывут это расстояние, вычислим скорость катера относительно земли в каждом случае.

По течению: $V_k+V_t=30+6=36$ км/ч

Против течения: $V_k-V_t=30-6=24$ км/ч

Теперь, чтобы определить время, за которое проплывут 72 км, поделим расстояние на скорость:

По течению: $\frac{72}{36}=2$ часа

Против течения: $\frac{72}{24}=3$ часа

Ответ: Плоты проплывут расстояние за 2 часа по течению и за 3 часа против течения.

Задача 2:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой $S=V\cdot t$, где $S$ - расстояние, $V$ - скорость и $t$ - время.

Лодка плывет по течению реки со скоростью 9 км/ч. За 10 минут (переведем это в часы: $\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$ часа) лодка проплывает расстояние:

$$S=9\cdot \frac{1}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$$ км

Таким образом, через 10 минут расстояние между лодкой и шляпой будет составлять $\frac{3}{2}$ км.

Задача 3:
В данной задаче нужно найти скорость течения реки, зная, что катер проплыл 72 км за 3 часа по течению и 4 часа против течения.

По течению:
$$V_k+V_t=\frac{72}{3}=24\text{км/ч}$$

Против течения:
$$V_k-V_t=\frac{72}{4}=18\text{км/ч}$$

Составим систему уравнений и решим ее:

$$\{\begin{array}{l}{V}_k+V_t=24\\ V_k-V_t=18\end{array}$$

Сложим оба уравнения:

$$(V_k+V_t)+(V_k-V_t)=24+18$$
$$2V_k=42$$
$$V_k=\frac{42}{2}=21$$

Теперь найдем скорость течения реки:

$$V_t=V_k-18=21-18=3$$

Ответ: Скорость течения реки равна 3 км/ч.