1) За сколько часов плоты проплывут это расстояние, если катер проплыл 72 км между пристанями по течению реки

Задача 1:
Для начала, определим скорость катера по течению и против течения.

Пусть \(V_t\) - скорость течения реки, \(V_k\) - скорость катера в стоячей воде.

Катер, плывущий по течению реки, эффективно двигается с суммарной скоростью \(V_k + V_t\), а плывущий против течения - с суммарной скоростью \(V_k - V_t\).

Итак, из условия задачи, мы знаем, что катер проплыл 72 км по течению за 2 часа:

\[V_k + V_t = \frac{72}{2} = 36\]

А также катер проплыл 72 км против течения за 3 часа:

\[V_k - V_t = \frac{72}{3} = 24\]

Решим эту систему уравнений для определения \(V_k\) и \(V_t\).

Сложим эти два уравнения:

\[(V_k + V_t) + (V_k - V_t) = 36 + 24\]
\[2V_k = 60\]
\[V_k = \frac{60}{2} = 30\]

Теперь подставим найденное значение \(V_k\) в одно из уравнений:

\[30 + V_t = 36\]
\[V_t = 36 - 30\]
\[V_t = 6\]

Итак, скорость катера в стоячей воде (\(V_k\)) равна 30 км/ч, а скорость течения реки (\(V_t\)) равна 6 км/ч.

Теперь, чтобы определить время, за которое проплывут это расстояние, вычислим скорость катера относительно земли в каждом случае.

По течению: \(V_k + V_t = 30 + 6 = 36\) км/ч

Против течения: \(V_k - V_t = 30 - 6 = 24\) км/ч

Теперь, чтобы определить время, за которое проплывут 72 км, поделим расстояние на скорость:

По течению: \(\frac{72}{36} = 2\) часа

Против течения: \(\frac{72}{24} = 3\) часа

Ответ: Плоты проплывут расстояние за 2 часа по течению и за 3 часа против течения.

Задача 2:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой \(S = V \cdot t\), где \(S\) - расстояние, \(V\) - скорость и \(t\) - время.

Лодка плывет по течению реки со скоростью 9 км/ч. За 10 минут (переведем это в часы: \(\frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) часа) лодка проплывает расстояние:

\[S = 9 \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\] км

Таким образом, через 10 минут расстояние между лодкой и шляпой будет составлять \(\frac{3}{2}\) км.

Задача 3:
В данной задаче нужно найти скорость течения реки, зная, что катер проплыл 72 км за 3 часа по течению и 4 часа против течения.

По течению:
\[V_k + V_t = \frac{72}{3} = 24 \, \text{км/ч}\]

Против течения:
\[V_k - V_t = \frac{72}{4} = 18 \, \text{км/ч}\]

Составим систему уравнений и решим ее:

\[\begin{cases} V_k + V_t = 24 \\ V_k - V_t = 18 \end{cases}\]

Сложим оба уравнения:

\[(V_k + V_t) + (V_k - V_t) = 24 + 18\]
\[2V_k = 42\]
\[V_k = \frac{42}{2} = 21\]

Теперь найдем скорость течения реки:

\[V_t = V_k - 18 = 21 - 18 = 3\]

Ответ: Скорость течения реки равна 3 км/ч.