1. Является ли последовательность делителей числа 1200 конечной или бесконечной? 2. Является ли последовательность

1. Последовательность делителей числа 1200 является конечной. Для того чтобы определить это, давайте разложим число 1200 на простые множители:

\[1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2.\]

Из этого разложения мы можем вывести все делители числа 1200, перебирая возможные комбинации степеней простых множителей:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 25, 30, 40, 48, 50, 60, 75, 80, 100, 120, 150, 200, 240, 300, 400, 600, 1200.

Мы видим, что в этом списке все числа, являющиеся делителями 1200, уже перечислены и их конечное количество равно 30.

2. Последовательность чисел, кратных 6, является бесконечной. Любое число, которое можно представить в виде \(6n\), где \(n\) является целым числом, будет кратным 6. Поскольку целых чисел бесконечно много, то и кратных 6 чисел также будет бесконечно много.

3. Формула \(a_n = 5n + 2\) задает последовательность чисел, где каждый член равен результату умножения номера члена на 5 и прибавления 2. Чтобы найти значение третьего члена, подставим \(n = 3\) в формулу:

\[a_3 = 5 \cdot 3 + 2 = 17.\]

Таким образом, третий член последовательности равен 17.

4. Последний член последовательности всех трехзначных чисел можно найти, заметив, что первое трехзначное число равно 100, а последнее — 999. То есть последний член это 999.

5. Для нахождения значения \(a^2\), где \(a_{n+1} = a_n - 4\) и \(a_1 = 5\), мы можем использовать данную формулу для нахождения последующих членов последовательности. Давайте пошагово найдем значения первых пяти членов для определения закона формирования последовательности:

\[a_1 = 5,\]
\[a_2 = 5 - 4 = 1,\]
\[a_3 = 1 - 4 = -3,\]
\[a_4 = -3 - 4 = -7,\]
\[a_5 = -7 - 4 = -11.\]

Мы видим, что каждый последующий член последовательности получается путем вычитания 4 из предыдущего члена. Таким образом, каждый следующий член равен предыдущему члену, уменьшенному на 4.

Теперь у нас есть следующая информация: \(a_1 = 5\), \(a_2 = 1\) и \(a_3 = -3\). Чтобы найти значение \(a^2\), нам необходимо узнать значение \(a_6\), а затем возвести его в квадрат.

\[a_6 = a_5 - 4 = -11 - 4 = -15.\]

Таким образом, \(a^2 = (-15)^2 = 225.\) Значение \(a^2\) равно 225.