1. Якщо з точки О, розташованої в центрі кола, проведено перпендикуляр ОС довжиною 20 см, то яка довжина хорди АВ, якщо

1. Давайте решим первую задачу.

На рисунке ниже представлено коло с центром в точке O, перпендикуляр ОС длиной 20 см и угол ОАВ, равный 45°.

\[
\begin{array}{cccc}
& & O & \\
& / & | \ 20 \ \ см & \ \ \\
A & \_\_\_\_ & B & \\
\angle ОАВ = 45° &
\end{array}
\]

Для решения задачи, нам понадобится использовать теорему косинусов. Данная теорема гласит: в произвольном треугольнике с сторонами a, b и c и углом α, между сторонами a и b, косинус угла α можно выразить следующей формулой:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha)\]

В нашем случае, сторона а равна 20 см, сторона b - искомая длина хорды АВ. Угол α равен 45°. Известно, что радиус кола является гипотенузой прямоугольного треугольника ОАВ, а стороны a и b - катетами. Поэтому, по теореме Пифагора, мы можем записать:

\[
(20)^2 = (b)^2 + (b)^2
\]
\[
400 = 2(b)^2
\]
\[
(b)^2 = \frac{400}{2}
\]
\[
(b)^2 = 200
\]
\[
b = \sqrt{200}
\]

Учитывая, что длина хорды должна быть положительной, получаем:

\[b = \sqrt{200} \approx 14.14\ см\]

Итак, длина хорды AB примерно равна 14.14 см.

2. Теперь давайте решим вторую задачу.

На рисунке ниже показано коло О с радиусами ОА, ОВ и ОС, а также хордами АВ и ВС. Угол ВАО равен 18°.

\[
\begin{array}{ccccc}
& & O & & \\
& / & & \ & \\
A & \_\_ & В & __ & C \\
\angle ВАО = 18° & & & & \\
\end{array}
\]

Для решения этой задачи, основным является свойство хорди, которое гласит, что центральный угол, опирающийся на данную хорду, равен вдвое большему углу, который опирается на эту же хорду.

Таким образом, мы можем сказать, что угол ОВА равен 2 * 18° = 36°, а угол ВСА равен 2 * 36° = 72°.

Таким образом, значения углов треугольника ОАВ:

\[
\angle ОАВ = 45°
\]
\[
\angle ОВА = 36°
\]
\[
\angle ВАО = 18°
\]

А значения углов треугольника АВС:

\[
\angle АВС = 72°
\]
\[
\angle ВАС = 72°
\]
\[
\angle ВСА = 72°
\]

И вот, мы решили вторую задачу.