1. Який буде напрямок руху візка та його швидкість, коли людина зістрибує з нерухомого візка, рухаючись зі швидкістю

напрямку зі швидкістю u? А) \[V = \frac{{Mv + mu}}{{M + m}}\] Б) \[V = \frac{{Mv - mu}}{{M + m}}\] В) \[V = \frac{{Mv + 2mu}}{{M + m}}\] Г) \[V = \frac{{Mv - 2mu}}{{M + m}}\]

Для розв"язання першої задачі використаємо закон збереження кількості руху. Кількість руху перед стрибком дорівнює кількості руху після стрибка. Дані: маса візка \(m_{\text{в}}\) - удвічі більша за масу людини \(m_{\text{л}}\), швидкість руху людини перед стрибком \(v_{\text{л}} = 3 \, \text{м/с}\).

Позначимо напрямок стрибка як \(+x\) (вперед), тоді напрямок руху візка буде в протилежному напрямку, тобто \(-x\). Швидкості руху людини і візка будемо позначати відповідно \(v_{\text{л}}\) і \(v_{\text{в}}\).

Відповідно до закону збереження кількості руху \((m_{\text{л}} + m_{\text{в}}) \cdot v_{\text{л}} = m_{\text{л}} \cdot v_{\text{лл}} + m_{\text{в}} \cdot v_{\text{в}}\).

Підставимо відомі значення: \((m_{\text{л}} + m_{\text{в}}) \cdot v_{\text{л}} = m_{\text{л}} \cdot v_{\text{лл}} + m_{\text{в}} \cdot v_{\text{в}}\). \((m_{\text{л}} + 2 \cdot m_{\text{л}}) \cdot v_{\text{л}} = m_{\text{л}} \cdot v_{\text{лл}} + 2 \cdot m_{\text{л}} \cdot v_{\text{в}}\). \(3 \cdot m_{\text{л}} \cdot v_{\text{л}} = m_{\text{л}} \cdot v_{\text{лл}} + 2 \cdot m_{\text{л}} \cdot v_{\text{в}}\).

Розв"яжемо останнє рівняння відносно швидкості руху візка \(v_{\text{в}}\): \(v_{\text{в}} = \frac{{3 \cdot v_{\text{л}} - v_{\text{лл}}}}{2}\).

З останнього рівняння видно, що швидкість руху візка не становить половину від стрибка, але залежить від початкової швидкості руху людини та її та візка.

Отже, правильна відповідь на перше завдання: г) Візок рухатиметься протилежно до напрямку стрибка зі швидкістю 3 м/с.

Друга задача вимагає застосування закону збереження кількості руху.

Закон збереження кількості руху говорить нам, що сумарна кількість руху системи (тепловоз + вагон) залишається постійною, якщо немає зовнішніх сил, що діють на систему.

Дано: маса тепловоза \(M\), швидкість руху тепловоза \(v\), маса вагона \(m\), швидкість руху вагона \(u\).

Знайти: швидкість руху системи після зчеплення, позначимо її \(V\).

Застосуємо закон збереження кількості руху до системи тепловоз + вагон:

\[(M + m) \cdot v = (M \cdot V) + (m \cdot u)\]

Тепер залишається лише вирішити рівняння відносно \(V\):

\[V = \frac{{(M + m) \cdot v - m \cdot u}}{M}\]

Відповідь на другу задачу: а) \[V = \frac{{(M + m) \cdot v + m \cdot u}}{M + m}\]