1) Яким є косинус кута ВАС в трикутнику АВС, де точки D і E позначені на сторонах АВ і АС відповідно, а ЕС = AB

Давайте решать задачу по порядку.

1) Чтобы найти косинус угла ВАС в треугольнике АВС, мы можем использовать теорему косинусов. Формула для этой теоремы выглядит следующим образом:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}\]

В данной задаче мы знаем, что AB = 4, AC = 6, и BC = 8. Мы также знаем, что AD = 1. Мы хотим найти косинус угла ВАС. Для этого нам нужно решить уравнение, подставив известные значения:

\[8^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos{\angle BAC}\]

Вычислим это:

\[64 = 16 + 36 - 48 \cdot \cos{\angle BAC}\]

\[48 \cdot \cos{\angle BAC} = 16 + 36 - 64\]

\[48 \cdot \cos{\angle BAC} = 48\]

\[\cos{\angle BAC} = \frac{48}{48}\]

\[\cos{\angle BAC} = 1\]

Таким образом, косинус угла ВАС равен 1.

2) Чтобы найти длину отрезка DE в треугольнике АВС, мы можем использовать теорему пифагора. Теорема пифагора гласит:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]

Также, мы уже знаем, что AD = 1 и AB = 4. Теперь, нам нужно найти длину BD. Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти угол BAD и затем применить его к теореме пифагора.

\[\cos{\angle BAD} = \frac{AD}{AB}\]

\[\cos{\angle BAD} = \frac{1}{4}\]

\[\angle BAD = \arccos{\frac{1}{4}}\]

Теперь, мы можем найти значение BD:

\[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}\]

\[BD^2 = 4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos{\arccos{\frac{1}{4}}}\]

\[BD^2 = 17 - 8 \cdot \frac{1}{4}\]

\[BD^2 = 17 - 2\]

\[BD^2 = 15\]

\[BD = \sqrt{15}\]

Таким образом, длина отрезка DE составляет \(\sqrt{15}\) единиц.