1. Які значення доцентрового прискорення, при яких рухаються крайні точки карусельного станка, знаходячись на відстані

1. Щоб розрахувати значення доцентрового прискорення крайніх точок карусельного станка, нам спочатку потрібно визначити радіальну швидкість цих точок. Радіальна швидкість може бути обчислена за допомогою формули:

\[v_r = R \cdot \omega\]

де \(v_r\) - радіальна швидкість, \(R\) - відстань від осі обертання до крайньої точки станка, а \(\omega\) - кутова швидкість.

Ми вже знаємо, що \(\omega = 1,5\) рад/с і \(R = 2\) метри. Підставляючи ці значення до формули, маємо:

\[v_r = 2 \cdot 1,5 = 3 \, \text{м/с}\]

Тепер, коли ми знаємо радіальну швидкість, можна обчислити доцентрове прискорення за формулою:

\[a_c = \frac{{v_r^2}}{{R}}\]

Підставляючи відповідні значення, отримуємо:

\[a_c = \frac{{3^2}}{{2}} = \frac{{9}}{{2}} = 4,5 \, \text{м/с}^2\]

Таким чином, значення доцентрового прискорення крайніх точок карусельного станка, знаходячись на відстані 2 м від осі обертання, при кутовій швидкості обертання 1,5 рад/с, становить 4,5 м/с².

2. Щоб визначити лінійну швидкість точок на земній поверхні на екваторі під час добового обертання Землі, нам потрібно знати периметр кола, яке утворюється екватором. Периметр кола можна обчислити за допомогою формули:

\[P = 2\pi r\]

де \(P\) - периметр кола, а \(r\) - радіус Землі.

Ми приймаємо радіус Землі рівним 6400 км = \(6400 \times 10^3\) метрів. Підставляючи цей значення до формули, маємо:

\[P = 2\pi \times (6400 \times 10^3) = 2 \pi \times 6400 \times 10^3 \, \text{м}\]

Тепер, коли ми знаємо периметр кола, можемо обчислити швидкість за формулою:

\[v = \frac{{P}}{{T}}\]

де \(v\) - лінійна швидкість точок, \(P\) - периметр, а \(T\) - час для одного повного оберту (24 години).

Час для одного повного оберту (24 години) маємо перевести в секунди:

\[T = 24 \times 60 \times 60 = 86400 \, \text{с}\]

Підставляючи відповідні значення до формули, отримуємо:

\[v = \frac{{2 \pi \times 6400 \times 10^3}}{{86400}} = \frac{{12800 \pi}}{{3}} \, \text{м/с}\]

Отже, лінійна швидкість точок земної поверхні на екваторі під час добового обертання Землі становить \(\frac{{12800 \pi}}{{3}}\) м/с.

3. Щоб визначити, в скільки разів зміниться швидкість руху супутника за орбітою при збільшенні радіуса орбіти втричі і збільшенні періоду обертання вшість разів, нам потрібно спочатку визначити відношення радіусів орбіт та відношення періодів.

Відношення радіусів орбіт можна обчислити, виходячи з того, що радіус орбіти збільшився втричі:

\[\text{Відношення радіусів} = \frac{{\text{Новий радіус}}}{{\text{Старий радіус}}} = \frac{{3}}{{1}} = 3\]

Відношення періодів можна обчислити, виходячи з того, що період обертання збільшився вшість разів:

\[\text{Відношення періодів} = \frac{{\text{Новий період}}}{{\text{Старий період}}} = \frac{{6}}{{1}} = 6\]

Тепер, коли ми знаємо ці відношення, можемо визначити відношення швидкостей за формулою:

\[\text{Відношення швидкостей} = \frac{{\text{Нова швидкість}}}{{\text{Стара швидкість}}} = \frac{{\text{Відношення радіусів}}}{{\text{Відношення періодів}}}\]

Підставляючи значення відношень, отримаємо:

\[\text{Відношення швидкостей} = \frac{{3}}{{6}} = \frac{{1}}{{2}}\]

Отже, швидкість руху супутника зменшиться вдвічі при збільшенні радіусу його орбіти втричі і збільшенні періоду обертання вшість разів.

4. Щоб порахувати доцентрове прискорення обертання лева, який спить неподалік від екватора нашої планети, нам спочатку потрібно знати радіальну швидкість цієї точки. Радіальна швидкість обчислюється за формулою:

\[v_r = R \cdot \omega\]

де \(v_r\) - радіальна швидкість, \(R\) - відстань даної точки до центру Землі, а \(\omega\) - кутова швидкість Землі.

У цьому випадку, оскільки точка знаходиться неподалік від екватора, відстань \(R\) дорівнює радіусу Землі. А кутова швидкість Землі є однаковою для всіх точок і становить 1 оберт за 24 години або 2π радіан на 86400 секунд:

\[\omega = \frac{{2\pi}}{{86400}} \, \text{рад/с}\]

Підставляючи ці значення до формули, отримуємо:

\[v_r = 6400 \times 10^3 \times \frac{{2\pi}}{{86400}} \, \text{м/с}\]

Тепер, коли ми знаємо радіальну швидкість, можна обчислити доцентрове прискорення за формулою:

\[a_c = \frac{{v_r^2}}{{R}}\]

Підставляючи відповідні значення, отримуємо:

\[a_c = \frac{{(6400 \times 10^3 \times \frac{{2\pi}}{{86400}})^2}}{{6400 \times 10^3}} \, \text{м/с}^2\]

Розрахувавши це значення, ми отримуємо доцентрове прискорення обертання лева.