1) Які сторони бічної грані трикутної призми, діагональ якої має довжину 10 см, і радіус кола, описаного навколо

Розв"язання задачі 1:
Нам потрібно знайти сторони бічної грані трикутної призми. Маємо довжину діагоналі \(d = 10\) см і радіус кола \(r = -2\sqrt{3}\) см.

Скористаємося формулою для обчислення сторони бічної грані призми відносно діагоналі і радіуса основи:

\[s = \sqrt{d^2 - 4r^2}\]

Підставляємо відомі значення:

\[s = \sqrt{10^2 - 4(-2\sqrt{3})^2}\]

\[s = \sqrt{100 - 4 \cdot 4 \cdot 3}\]

\[s = \sqrt{100 - 48}\]

\[s = \sqrt{52}\]

\[s = 2\sqrt{13}\]

Таким чином, сторона бічної грані трикутної призми дорівнює \(2\sqrt{13}\) см.

Обчислюємо площу бічної грані трикутної призми за формулою:

\[S = \frac{1}{2} \cdot s \cdot p\]

де \(s\) - сторона бічної грані, \(p\) - периметр основи.

У трикутної призми периметр основи \(p\) можна обчислити за формулою:

\[p = 3 \cdot a\]

де \(a\) - сторона трикутника, який є основою призми.

Знаходимо сторону основи \(a\) за формулою:

\[a = \frac{2r}{\sqrt{3}}\]

Підставляємо відомі значення:

\[a = \frac{2(-2\sqrt{3})}{\sqrt{3}}\]

\[a = \frac{-4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

\[a = -4\]

Отже, сторона основи трикутника дорівнює -4 см.

Обчислюємо периметр основи:

\[p = 3 \cdot a = 3 \cdot (-4) = -12\]

Тепер можемо обчислити площу бічної грані:

\[S = \frac{1}{2} \cdot s \cdot p = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} \cdot (-12) = -12\sqrt{13}\]

Отже, площа бічної грані трикутної призми дорівнює -12\(\sqrt{13}\) см².

Відповідь: г) -12\(\sqrt{13}\) см².

Розв"язання задачі 2:
Нам потрібно знайти сторони основи правильної чотирикутної призми. Маємо довжину діагоналі \(d = 9\) см і діагональ основи \(D = 4\sqrt{2}\) см.

Скористаємося формулою для обчислення сторони основи призми за діагоналлю:

\[a = \frac{D}{\sqrt{2}}\]

Підставляємо відомі значення:

\[a = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\]

\[a = 4\]

Таким чином, сторона основи трикутника дорівнює 4 см.

Оскільки чотирикутна призма є правильною, то всі сторони основи однакові.

Отже, сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 4 см.

Відповідь: б) 4 см.