1) Які характеристики має кут В в трикутнику АВС, з урахуванням координат вершин А(4;-1), В(2;3), С(-4;1)? 2

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1) Для определения характеристик угла В в треугольнике АВС с учетом координат вершин А(4;-1), В(2;3), С(-4;1), нам потребуется формула для вычисления угла между двумя векторами.

Для начала, нам понадобятся координаты векторов AB и BC.
Вектор AB можно найти, вычислив разность координат вершин B и A:
AB = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4).
Вектор BC можно найти, вычислив разность координат вершин C и B:
BC = (-4 - 2, 1 - 3) = (-6, -2).

Теперь посчитаем скалярное произведение векторов AB и BC:
AB · BC = (-2)(-6) + (4)(-2) = 12 - 8 = 4.

Далее, найдем длины этих векторов:
|AB| = √((-2)^2 + 4^2) = √(4 + 16) = √20.
|BC| = √((-6)^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40.

Теперь применим косинусное правило для вычисления угла между векторами AB и BC:
cos(∠B) = (AB · BC) / (|AB| · |BC|).

Подставим значения и рассчитаем угол:
cos(∠B) = 4 / (√20 · √40) = 4 / (√(20 · 40)) = 4 / (√(2^2 · 2^2 · 5 · 2^3)) = 4 / (2^2 · 2 · √5) = 1 / (2 · √5) = √5 / 10.

Теперь найдем сам угол ∠B, применяя обратную функцию косинуса:
∠B = arccos(√5 / 10).

Таким образом, мы получили характеристику угла В в треугольнике АВС, используя заданные координаты вершин.

2) Для решения этой задачи, где нам известно, что вектор АР равен 2АС, мы можем использовать условие коллинеарности векторов.

Коллинеарными векторами называются векторы, которые лежат на одной прямой или параллельны друг другу.

Условие коллинеарности векторов можно записать следующим образом: для произвольной точки M, лежащей на прямой, заданной вектором В, выполнено равенство векторов BM и BR, умноженных на одно и то же число.

Из условия задачи известно, что вектор АР равен 2АС. Это означает, что векторы АР и АС коллинеарны, так как АР можно получить, умножив вектор АС на 2.

Теперь давайте найдём модуль вектора ВР. Мы можем воспользоваться формулой:

|BR| = |BA + AR|.

Найдем значения векторов BA и AR:
BA = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4).
AR = 2 * AC = 2 * (-4, 1) = (-8, 2).

Согласно формуле, |BR| = √((-2)^2 + 4^2) = √(4 + 16) = √20.

Таким образом, модуль вектора ВР равен √20 или примерно 4.47 (округлено до двух знаков после запятой).

Мы получили величину модуля вектора ВР, используя данное условие и вычисления на основе заданных векторов АР и АС.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы по этим задачам или по другим школьным темам, буду рад помочь вам!