1. Яка висота призми, якщо бічне ребро похилої призми має довжину 2 см і утворює кут 45 градусів з площиною основи?

1. В данной задаче нам необходимо найти высоту призмы, если боковое ребро имеет длину 2 см и образует угол 45 градусов с плоскостью основания.

Начнем с построения треугольника, образованного боковым ребром призмы и высотой, опущенной из вершины этого ребра на плоскость основания.

По определению высоты, треугольник, образованный боковым ребром и высотой, является прямым треугольником. Из условия задачи, длина бокового ребра равна 2 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусам.

Применим тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:

\[\sin(45^\circ) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\]

Заменив противолежащий катет на высоту, а гипотенузу на длину бокового ребра, получим:

\[\sin(45^\circ) = \frac{{\text{высота}}}{{2}}\]

Решим это уравнение относительно высоты:

\[\text{высота} = 2 \cdot \sin(45^\circ)\]

Используя значение синуса угла 45 градусов (равное \(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\)), получим:

\[\text{высота} = 2 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2} = \sqrt{2}\] см

Таким образом, высота призмы равна \(\sqrt{2}\) см.

2. Теперь рассмотрим следующую задачу, где нам необходимо найти длину бокового ребра призмы, если диагональ боковой грани равна "а" и образует угол альфа с плоскостью основания.

Для решения этой задачи, воспользуемся свойством прямоугольной тригонометрии.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю боковой грани, боковым ребром и прямым ребром призмы, опущенным из вершины диагонали на плоскость основания.

По условию задачи диагональ боковой грани равна "а" и образует угол альфа с плоскостью основания.

Применим тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:

\[\sin(\alpha) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\]

Заменим противолежащий катет на длину бокового ребра, а гипотенузу на длину диагонали боковой грани:

\[\sin(\alpha) = \frac{{\text{длина бокового ребра}}}{{а}}\]

Решим уравнение относительно длины бокового ребра:

\[\text{длина бокового ребра} = а \cdot \sin(\alpha)\]

Таким образом, длина бокового ребра призмы равна \(а \cdot \sin(\alpha)\).