1) Яка повинна бути довжина прямокутника в метрах, щоб площа ділянки була максимальною, якщо вона прилягає до стіни

Задача 1: Щоб знайти максимальну площу ділянки, потрібно визначити довжину прямокутника. Для цього важливо врахувати, що ділянка прилягає до стіни будинку і обгороджена парканом завдовжки 160 метрів.

Позначимо довжину прямокутника як "x" (в метрах), а його ширину як "y" (також в метрах).

Оскільки прямокутник прилягає до стіни будинку, його ширина "y" може приймати будь-яке значення, а довжина "x" рівна 160 метрів безпосередньо.

Тепер потрібно врахувати, що довжина паркану складає 160 метрів. Щоб отримати максимальну площу, необхідно, щоб один бік прямокутника був паралельний стіні будинку, а другий бік був паралельний паркану. Отже, ширина "y" буде становити \(160 - 2x\) метрів.

Площа прямокутника \(S\) обчислюється за формулою \(S = x \cdot y\). У нашому випадку, \(S = x \cdot (160 - 2x)\).

Щоб знайти максимальну площу, візьмемо похідну від площі S щодо x:

\[
\frac{{dS}}{{dx}} = 160 - 4x
\]

Прирівняємо похідну до нуля, щоб знайти критичні точки:

\[
160 - 4x = 0
\]

Розв"язавши це рівняння, отримуємо:

\[
x = 40
\]

Підставимо значення x у формулу для ширини "y":

\[
y = 160 - 2x = 160 - 2 \cdot 40 = 80
\]

Отже, довжина прямокутника повинна бути 40 м, а ширина - 80 м, щоб площа ділянки була максимальною.

Задача 2: Щоб знайти кількість площі ділянки, що становить 1% від найбільшої площі, спочатку ми повинні знайти найбільшу площу.

Ми вже з"ясували, що довжина прямокутника повинна бути 40 м, а ширина - 80 м, щоб площа ділянки була максимальною.

Отже, найбільша площа S (знайдена у попередній задачі) дорівнює:

\[
S = 40 \cdot 80 = 3200
\]

Тепер, щоб знайти 1% від найбільшої площі, ми множимо найбільшу площу на 0.01:

\[
1\% \cdot S = 0.01 \cdot 3200 = 32
\]

Отже, площа, що становить 1% від найбільшої площі, дорівнює 32 квадратним метрам.