1) Яка площа основного перерізу конуса, якщо діаметр його основи дорівнює 6 см, а висота - 8 см? 2) Яка площа основи

Перейдемо в порядку:

1) Для вирішення цієї задачі нам потрібно знайти площу основного перерізу конуса. Формула для обчислення площі основи конуса має вигляд: \( S = \frac{\pi d^2}{4} \), де \( S \) - площа, \( d \) - діаметр основи конуса, а \( \pi \) - число пі (приблизно 3,14).

Замінюємо в формулі \( d \) на 6 (діаметр основи конуса) і розраховуємо: \( S = \frac{\pi \cdot 6^2}{4} = \frac{\pi \cdot 36}{4} = 9\pi \) (квадратних сантиметрів).

Отже, площа основного перерізу конуса дорівнює \( 9\pi \) квадратних сантиметрів.

2) Для обчислення площі основи конуса потрібно знати радіус і твірну конуса, але у нас дані про висоту і твірну.

Однак, ми можемо скористатися властивістю прямокутного трикутника, де висота є однією з катетів, а твірна - гіпотенузою. За теоремою Піфагора, квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. В нашому випадку: \((\text{твірна})^2 = (\text{висота})^2 + (\text{радіус})^2\).

Підставимо відомі значення в дану формулу: \(13^2 = 12^2 + (\text{радіус})^2\).

Виділимо радіус: \((\text{радіус})^2 = 13^2 - 12^2\).

Розв"яжемо дане рівняння: \((\text{радіус})^2 = 169 - 144 = 25\).

Візьмемо квадратний корінь з обох частин: \(\text{радіус} = \sqrt{25} = 5\) (сантиметрів).

Отже, радіус основи конуса дорівнює 5 сантиметрам.

Тепер ми можемо обчислити площу основи конуса: \(S = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\) (квадратних сантиметрів).

Отже, площа основи конуса дорівнює \(25\pi\) квадратних сантиметрів.

3) Щоб знайти висоту конуса, знаючи кут нахилу твірної до площини основи і радіус, ми можемо скористатися тригонометрією.

Кут нахилу твірної до площини основи складає 45 градусів, що означає, що ми маємо прямокутний трикутник з катетом (висотою) і гіпотенузою (твірною).

У прямокутному трикутнику знаємо значення катета (радіус) і кута в протилежному до цього катета вершині. Ми можемо використати тригонометричні функції для обчислення висоти.

Точний катет \( c \) можна обчислити за формулою \(\text{катет} = \text{твірна} \cdot \sin(\text{кут})\), де синус кута \( \sin(\text{кут}) \) можна знайти за таблицею тригонометричних значень. У нашому випадку, так як кут 45 градусів, \(\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Підставимо відомі значення в дану формулу: \(\text{катет} = 13 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{13}{\sqrt{2}}\).

Виконаємо спрощення: \(\frac{13}{\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{2}\) (сантиметрів).

Отже, висота конуса дорівнює \( \frac{13\sqrt{2}}{2} \) сантиметрів.

Це є вичерпним розв"язком задачі з обгрунтуванням кроків розв"язання і вказаними всіма необхідними формулами. Будь-які додаткові запитання будуть розглянуті і відповіді будуть отримані.