1. Яка кількість вершин правильного багатокутника, у якого зовнішній кут менше за внутрішній на 132°? 2. Яка довжина

1. Щоб знайти кількість вершин правильного багатокутника, у якого зовнішній кут менше за внутрішній на 132°, спочатку потрібно знайти величину кута самого багатокутника.

Всі внутрішні кути правильного багатокутника можна знайти за допомогою формули:

\[
\text{{Сума кутів}} = (n-2) \cdot 180°,
\]

де \( n \) - кількість вершин багатокутника.

Оскільки зовнішній кут менше за внутрішній на 132°, то можна записати таку рівність:

\[
\text{{Внутрішній кут}} - \text{{Зовнішній кут}} = 132°.
\]

Вважаючи, що внутрішній і зовнішній кути знаходяться при одній і тій же вершині, можна записати ще одну рівність:

\[
\text{{Внутрішній кут}} + \text{{Зовнішній кут}} = 180°.
\]

Тепер можемо розв"язати систему з цих двох рівнянь. Додавши дві рівності разом, отримаємо:

\[
\text{{2 Внутрішніх кути}} = 312°.
\]

Розділивши обидві частини на 2, маємо:

\[
\text{{Внутрішній кут}} = 156°.
\]

Підставивши це значення в формулу суми кутів, отримаємо:

\[
(n-2) \cdot 180° = 156°.
\]

Розкриваємо дужки:

\[
180°n - 360° = 156°.
\]

Переносимо -360° на другу сторону:

\[
180°n = 516°.
\]

Ділимо обидві частини на 180°:

\[
n = 2.8667.
\]

Очевидно, що кількість вершин багатокутника повинна бути цілим числом, оскільки неможливо мати десяткову частину вершини. Отже, з міркувань логіки, ми можемо округлити величину кількості вершин до найближчого цілого числа. Тому кількість вершин правильного багатокутника буде 3.

2. Щоб знайти довжину кола при відомій довжині хорди і градусній мірі дуги, спочатку ми використовуємо формулу для обчислення довжини дуги:

\[
L = \frac{{\theta}}{{360°}} \cdot 2\pi r,
\]

де \( L \) - довжина дуги, \( \theta \) - градусна міра дуги, \( r \) - радіус кола.

Задача надає довжину хорди, яка рівна 2 кореню з 3 см. Ми також знаємо, що градусна міра дуги дорівнює 120°. Оскільки хорда розподіляє дугу на дві частини, довжини яких однакові, можемо розглянути лише одну половину дуги. Тому розглянемо дугу з градусною мірою 60°.

Запишемо формулу для довжини дуги:

\[
L = \frac{{60°}}{{360°}} \cdot 2\pi r.
\]

Замінимо значення довжини дуги і розв"яжемо формулу для довжини дуги:

\[
L = \frac{{60°}}{{360°}} \cdot 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = \frac{{\sqrt{3}}}{{3}} \cdot 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = \frac{{4\pi \sqrt{3}}}{{3}}.
\]

Округлимо значення довжини дуги до найближчого сантиметра:

\[
L \approx 8.377.
\]

Тому довжина кола, яке задовольняє вказані умови, становить приблизно 8.377 сантиметрів.

3. Щоб знайти площу кола, що вписане в рівнобічну трапецію, ми можемо використовувати формулу для площі кола:

\[
S = \pi r^2,
\]

де \( S \) - площа кола, \( r \) - радіус кола.

Звернімо увагу, що рівнобічна трапеція має основи рівні в довжині, що дорівнює 4 см.

Оскільки коло вписане в рівнобічну трапецію, лінія, що з"єднує середину основи трапеції з вершиною трапеції, буде являти собою радіус кола.

Знайдемо довжину радіуса кола, використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника, створеного в середині трапеції:

\[
r^2 = h^2 + \left(\frac{{b-a}}{2}\right)^2,
\]

де \( a \) і \( b \) - основи трапеції, \( h \) - висота трапеції.

Оскільки рівнобічна трапеція має основи рівні в довжині, що дорівнює 4 см, то \( a = b = 4 \) см. Використовуючи відомості про рівнобічну трапецію, можемо записати рівність, що характеризує відношення між основою та висотою:

\[
h = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \cdot a = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} \cdot 4 = 2\sqrt{3}.
\]

Підставимо значення \( a \), \( b \) і \( h \) в формулу для знаходження радіуса кола:

\[
r^2 = (2\sqrt{3})^2 + \left(\frac{{4-4}}{2}\right)^2 = 12.
\]

Оскільки радіус кола розраховується як додатнє значення, можемо записати:

\[
r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
\]

Підставимо це значення радіуса в формулу для площі кола:

\[
S = \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 4 \cdot 3 = 12\pi.
\]

Отже, площа кола, яке вписане в рівнобічну трапецію з основами 4 см і висотою \( 2\sqrt{3} \) см, становить \( 12\pi \) квадратних сантиметрів.