1. Яка кількість вершин правильного багатокутника, у якого зовнішній кут менше за внутрішній на 132°? 2. Яка довжина

1. Щоб знайти кількість вершин правильного багатокутника, у якого зовнішній кут менше за внутрішній на 132°, спочатку потрібно знайти величину кута самого багатокутника.

Всі внутрішні кути правильного багатокутника можна знайти за допомогою формули:

$$\text{{Сума кутів}}=(n-2)\cdot 180°,$$

де $n$ - кількість вершин багатокутника.

Оскільки зовнішній кут менше за внутрішній на 132°, то можна записати таку рівність:

$$\text{{Внутрішній кут}}-\text{{Зовнішній кут}}=132°.$$

Вважаючи, що внутрішній і зовнішній кути знаходяться при одній і тій же вершині, можна записати ще одну рівність:

$$\text{{Внутрішній кут}}+\text{{Зовнішній кут}}=180°.$$

Тепер можемо розв"язати систему з цих двох рівнянь. Додавши дві рівності разом, отримаємо:

$$\text{{2 Внутрішніх кути}}=312°.$$

Розділивши обидві частини на 2, маємо:

$$\text{{Внутрішній кут}}=156°.$$

Підставивши це значення в формулу суми кутів, отримаємо:

$$(n-2)\cdot 180°=156°.$$

Розкриваємо дужки:

$$180°n-360°=156°.$$

Переносимо -360° на другу сторону:

$$180°n=516°.$$

Ділимо обидві частини на 180°:

$$n=2.8667.$$

Очевидно, що кількість вершин багатокутника повинна бути цілим числом, оскільки неможливо мати десяткову частину вершини. Отже, з міркувань логіки, ми можемо округлити величину кількості вершин до найближчого цілого числа. Тому кількість вершин правильного багатокутника буде 3.

2. Щоб знайти довжину кола при відомій довжині хорди і градусній мірі дуги, спочатку ми використовуємо формулу для обчислення довжини дуги:

$$L=\frac{\theta }{360°}\cdot 2\pi r,$$

де $L$ - довжина дуги, $\theta$ - градусна міра дуги, $r$ - радіус кола.

Задача надає довжину хорди, яка рівна 2 кореню з 3 см. Ми також знаємо, що градусна міра дуги дорівнює 120°. Оскільки хорда розподіляє дугу на дві частини, довжини яких однакові, можемо розглянути лише одну половину дуги. Тому розглянемо дугу з градусною мірою 60°.

Запишемо формулу для довжини дуги:

$$L=\frac{60°}{360°}\cdot 2\pi r.$$

Замінимо значення довжини дуги і розв"яжемо формулу для довжини дуги:

$$L=\frac{60°}{360°}\cdot 2\pi \cdot 2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 2\pi \cdot 2\sqrt{3}=\frac{4\pi \sqrt{3}}{3}.$$

Округлимо значення довжини дуги до найближчого сантиметра:

$$L\approx 8.377.$$

Тому довжина кола, яке задовольняє вказані умови, становить приблизно 8.377 сантиметрів.

3. Щоб знайти площу кола, що вписане в рівнобічну трапецію, ми можемо використовувати формулу для площі кола:

$$S=\pi r^2,$$

де $S$ - площа кола, $r$ - радіус кола.

Звернімо увагу, що рівнобічна трапеція має основи рівні в довжині, що дорівнює 4 см.

Оскільки коло вписане в рівнобічну трапецію, лінія, що з"єднує середину основи трапеції з вершиною трапеції, буде являти собою радіус кола.

Знайдемо довжину радіуса кола, використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника, створеного в середині трапеції:

$$r^2=h^2+{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2,$$

де $a$ і $b$ - основи трапеції, $h$ - висота трапеції.

Оскільки рівнобічна трапеція має основи рівні в довжині, що дорівнює 4 см, то $a=b=4$ см. Використовуючи відомості про рівнобічну трапецію, можемо записати рівність, що характеризує відношення між основою та висотою:

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4=2\sqrt{3}.$$

Підставимо значення $a$, $b$ і $h$ в формулу для знаходження радіуса кола:

$$r^2=(2\sqrt{3}{)}^2+{\left(\frac{4-4}{2}\right)}^2=12.$$

Оскільки радіус кола розраховується як додатнє значення, можемо записати:

$$r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$

Підставимо це значення радіуса в формулу для площі кола:

$$S=\pi \cdot (2\sqrt{3}{)}^2=\pi \cdot 4\cdot 3=12\pi .$$

Отже, площа кола, яке вписане в рівнобічну трапецію з основами 4 см і висотою $2\sqrt{3}$ см, становить $12\pi$ квадратних сантиметрів.