1) Which equation of a circle corresponds to the figure: A) (x+2)^2+(y-3)^2=2; B) (x-2)^2+(y+3)^2=2

1) Уравнение окружности, соответствующее данной фигуре, будет иметь вид C) (x+2)^2+(y-3)^2=4. Для определения правильного уравнения окружности, сначала нужно учесть координаты центра окружности. В данном случае центр окружности имеет координаты (-2, 3). Теперь обратим внимание на радиус окружности, который равен 2. Уравнение окружности записывается в виде (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус. Подставляя значения центра и радиуса, получаем правильное уравнение окружности: (x+2)^2+(y-3)^2=4.

2) Для нахождения координат точки B при известных координатах других точек, в нашем случае A(-5;3) и M(2;4), используем свойство середины отрезка. Так как точка M является серединой отрезка AB, координаты M будут равны среднему арифметическому координат точек A и B.

Координата x точки M будет равна \(\frac{{x_A + x_B}}{2}\), где x_A и x_B - соответственно координаты точек A и B по оси x. Аналогично для координаты y точки M: \(\frac{{y_A + y_B}}{2}\).

Подставляя координаты точек A и M в формулы, получаем:

x_B = 2 * \(\frac{{-5 + 2}}{2}\) = -1

y_B = 2 * \(\frac{{3 + 4}}{2}\) = 7/2

Таким образом, координаты точки B будут (-1; 7/2).

3) Для построения окружности, соответствующей данному уравнению, сначала преобразуем его в стандартную форму уравнения окружности. Стандартная форма уравнения окружности имеет вид (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус.

Чтобы привести заданное уравнение к стандартному виду, необходимо переместить все члены на одну сторону равенства:

x^2 + 10x + y^2 - 6y + 34 = 4

Переносим числовой член на правую сторону:

x^2 + 10x + y^2 - 6y = 4 - 34

x^2 + 10x + y^2 - 6y = -30

Теперь мы должны завершить квадратное выражение, добавив и вычтя определенные значения:

(x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 6y + 9) = -30 + 25 + 9

(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 4

Таким образом, окружность, соответствующая данному уравнению, имеет центр (-5, 3) и радиус 2.

4) Для проверки, принадлежат ли точки A(-3, 5) и B(-2, 1) заданной окружности, запишем уравнение окружности и подставим координаты точек:

(x-2)^2 + (y-5)^2 = 25

Для точки A(-3, 5):

((-3)-2)^2 + ((5)-5)^2 = 25

(-5)^2 + 0^2 = 25

25 + 0 = 25

Уравнение выполняется для точки A, поэтому точка A принадлежит окружности.

Для точки B(-2, 1):

((-2)-2)^2 + ((1)-5)^2 = 25

0^2 + (-4)^2 = 25

0 + 16 = 25

Уравнение не выполняется для точки B, поэтому точка B не принадлежит окружности.

5) Чтобы определить тип треугольника ABC и найти его периметр, можно использовать свойства треугольников, основанные на длинах сторон.

Для начала найдем длины сторон треугольника по формуле длины отрезка:

AB = \(\sqrt{{(1-0)^2 + (-4-1)^2}}\)

BC = \(\sqrt{{(5-1)^2 + (2-(-4))^2}}\)

CA = \(\sqrt{{(0-5)^2 + (1-2)^2}}\)

AB = \(\sqrt{{1 + 25}}\) = \(\sqrt{{26}}\)

BC = \(\sqrt{{16 + 36}}\) = \(\sqrt{{52}}\)

CA = \(\sqrt{{25 + 1}}\) = \(\sqrt{{26}}\)

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон, мы можем определить тип треугольника.

Если все три стороны равны, то треугольник является равносторонним.

Если две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.

Если ни одно из этих условий не выполняется, треугольник является разносторонним.

В данном случае, все три стороны треугольника ABC имеют разные длины, поэтому треугольник ABC является разносторонним.

Для нахождения периметра, просто сложим длины всех сторон:

AB + BC + CA = \(\sqrt{{26}}\) + \(\sqrt{{52}}\) + \(\sqrt{{26}}\)