1. What is the value of the expression? a) 6^15 * 6^-13 b) 4^-6 : 4^-3 c) (5^-1)^3 2. Simplify the expressions

1. Чтобы решить задачу, воспользуемся правилами возведения чисел в степень и деления степеней с одинаковыми основаниями.
a) Для решения данного выражения, умножим базы (основания) и сложим показатели степеней:
\[6^{15} \cdot 6^{-13} = 6^{15 + (-13)} = 6^2 = 36.\]
b) Также применим правило сложения степеней с одинаковыми основаниями:
\[4^{-6} : 4^{-3} = 4^{(-6) - (-3)} = 4^{-6 + 3} = 4^{-3}.\]
c) Чтобы упростить выражение, возведём отрицательную степень в скобке и получим:
\[(5^{-1})^3 = (1/5)^3 = 1^3/5^3 = 1/125.\]

2. a) Упростим выражение с отрицательной степенью в скобках, а затем умножим степени с одинаковыми основаниями:
\[(x^{-2})^{-4} \cdot x^{-7} = x^{2 \cdot 4} \cdot x^{-7} = x^8 \cdot x^{-7} = x^{8 + (-7)} = x^1 = x.\]
b) Для умножения степеней с одинаковыми основаниями, сложим показатели степеней:
\[1.2a^{-5}b^8 \cdot 5a^6b^{-6} = 6a^{-5+6}b^{8+(-6)} = 6a^1b^2 = 6ab^2.\]

3. a) Возводим дробь в скобке в отрицательную степень, меняем местами числитель и знаменатель, а затем упростим степень дроби:
\[(2/3a^{-4}b^{-2})^{-2} = (3a^{-4}b^{-2}/2)^2 = (3a^{-4}b^{-2})^2 = 9a^{-4 \cdot 2}b^{-2 \cdot 2} = 9a^{-8}b^{-4}.\]
b) Умножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, затем упростим степени:
\[(5a^{-2}/6b^{-1})^{-2} \cdot 10a^3b^4 = (6b^{-1}/5a^{-2})^2 \cdot 10a^3b^4 = (36b^{-1}a^{2})^2 \cdot 10a^3b^4 = 1296a^4b^2 \cdot 10a^3b^4 = 12960a^7b^6.\]

4. Запишем числа в виде основы в степени и умножим числитель и знаменатель:
\[5^{-9} \cdot 25^{-2}/ 125^{-4} = (5^9 \cdot (5^2)^{-2})/(5^3)^{-4} = (5^9 \cdot 5^{-4})/5^{-12} = 5^{9 + (-4)} \cdot 5^{12} = 5^5 \cdot 5^{12} = 5^{5 + 12} = 5^{17}.\]

5. Чтобы перевести произведение чисел в десятичной форме (6.8 * 10^6) * (4.5 * 10^-8) в стандартную форму, умножим основы (6.8 * 4.5) и сложим показатели степеней (6 + (-8)):
\[=(6.8 \cdot 4.5) \cdot 10^{6 + (-8)} = 30.6 \cdot 10^{-2}.\]
Записывая число 30.6 через точку, получим окончательный ответ: \(30.6 \cdot 10^{-2}\).

6. Чтобы переписать выражение (a^-1 + b)(a + b^-1)^{-1}, вначале воспользуемся правилом возведения в отрицательную степень и затем применим формулу для обратных чисел:
\[(a^{-1} + b)(a + b^{-1})^{-1} = (1/a + b)(a + 1/b)^{-1} = (b + 1/a)(a + 1/b)^{-1}.\]
Или, если нужно представить только с отрицательными степенями:
\[= (ab + 1)/(ab)^{-1} = (ab + 1)/(1/(ab)) = (ab + 1) \cdot (ab)/(1) = ab(ab + 1).\]
Окончательный ответ: \(ab(ab + 1)\).