1. What is the probability that in a family of 6 children: a) all 6 will be girls; b) all children will be of the same

Решение:

1. а) Для определения вероятности того, что все 6 детей будут девочками, мы можем использовать метод комбинаторики. Вероятность рождения девочки равна 0.5, так как рождение каждого ребенка независимо от результата предыдущих родов. Таким образом, вероятность того, что каждый ребенок будет девочкой, составляет 0.5. Поскольку все роды независимые события, общая вероятность того, что все 6 детей будут девочками, равна произведению вероятностей для каждого ребенка:

\[P(\text{все 6 детей будут девочками}) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.5^6 = 0.015625\]

Таким образом, вероятность того, что все 6 детей будут девочками, составляет 0.015625, или 1.5625%.

1. б) Вероятность того, что все дети будут одного пола (неважно, девочки или мальчики), также может быть вычислена с использованием метода комбинаторики. Существует два варианта: все дети - девочки или все дети - мальчики. Каждый из этих вариантов имеет вероятность 0.5^6, как мы уже вычислили в задаче а). Чтобы получить общую вероятность, мы должны сложить вероятности обоих вариантов:

\[P(\text{все дети будут одного пола}) = P(\text{все дети будут девочками}) + P(\text{все дети будут мальчиками}) = 0.5^6 + 0.5^6 = 0.03125\]

Таким образом, вероятность того, что все дети будут одного пола, составляет 0.03125, или 3.125%.

1. в) Здесь нам нужно определить вероятность того, что первые 5 детей будут девочками, а 6-й ребенок будет мальчиком. Поскольку вероятность рождения девочки равна 0.5, как и в предыдущих задачах, вероятность первых 5-ти детей будут девочками составляет:

\[P(\text{первые 5 детей будут девочками}) = 0.5^5 = 0.03125\]

Однако, чтобы определить вероятность, что 6-й ребенок будет мальчиком, мы должны учесть, что это исключительное событие. То есть, даже если все предыдущие 5 детей были девочками, на вероятность пола 6-го ребенка это не влияет. Таким образом, вероятность рождения мальчика равна 0.5. Общая вероятность указанного исхода равна произведению вероятностей двух событий:

\[P(\text{первые 5 детей будут девочками и 6-й ребенок будет мальчиком}) = P(\text{первые 5 детей будут девочками}) \times P(\text{6-й ребенок будет мальчиком}) = 0.03125 \times 0.5 = 0.015625\]

Таким образом, вероятность того, что первые 5 детей будут девочками и 6-й ребенок будет мальчиком, составляет 0.015625, или 1.5625%.

2. а) Рассмотрим вероятность того, что первые 3 ребенка будут девочками, а остальные 4 - мальчиками. Вероятность каждого ребенка быть девочкой равна 0.5. Так как каждое рождение независимо от предыдущих, вероятность того, что первые 3 ребенка будут девочками, равна:

\[P(\text{первые 3 ребенка будут девочками}) = 0.5^3 = 0.125\]

Аналогично, независимо от предыдущих рождений, вероятность каждого ребенка быть мальчиком тоже равна 0.5. Таким образом, вероятность того, что оставшиеся 4 ребенка будут мальчиками, составляет:

\[P(\text{оставшиеся 4 ребенка будут мальчиками}) = 0.5^4 = 0.0625\]

Общая вероятность такого исхода будет произведением двух вероятностей:

\[P(\text{первые 3 ребенка будут девочками и оставшиеся 4 ребенка будут мальчиками}) = P(\text{первые 3 ребенка будут девочками}) \times P(\text{оставшиеся 4 ребенка будут мальчиками}) = 0.125 \times 0.0625 = 0.0078125\]

Таким образом, вероятность того, что первые 3 ребенка будут девочками и оставшиеся 4 ребенка будут мальчиками, составляет 0.0078125, или 0.78125%.

2. б) Вероятность того, что в семье семерых детей будет хотя бы одна девочка, можно найти, используя дополнение к вероятности того, что все дети будут мальчиками. Поскольку вероятность каждого ребенка быть девочкой или мальчиком равна 0.5, вероятность того, что все дети будут мальчиками, составляет:

\[P(\text{все дети будут мальчиками}) = 0.5^7 = 0.0078125\]

Теперь мы можем найти вероятность того, что будет хотя бы одна девочка:

\[P(\text{хотя бы одна девочка}) = 1 - P(\text{все дети будут мальчиками}) = 1 - 0.0078125 = 0.9921875\]

Таким образом, вероятность того, что в семье семерых детей будет хотя бы одна девочка, составляет 0.9921875, или 99.21875%.

3. а) Чтобы определить вероятность того, что в выборке из 12 горошин будут только зеленые горошины, мы должны знать вероятность появления зеленой горошины в каждом конкретном случае. Поскольку горошины гетерозиготны по отношению к зеленому цвету, вероятность появления зеленой горошины составляет 0.5, а появления желтой горошины также 0.5. Однако, чтобы найти вероятность того, что все горошины будут зелеными, мы должны учесть, что выборка состоит из 12 горошин. Таким образом, вероятность того, что все 12 горошин будут зелеными, равна:

\[P(\text{выборка содержит только зеленые горошины}) = 0.5^{12} = 0.000244140625\]

Таким образом, вероятность того, что все 12 горошин будут зелеными, составляет 0.000244140625, или 0.0244140625%.

3. б) Вероятность того, что в выборке из 12 горошин будут только желтые горошины, также равна вероятности 0.5 в каждом случае. Таким образом, вероятность того, что все 12 горошин будут желтыми, равна:

\[P(\text{выборка содержит только желтые горошины}) = 0.5^{12} = 0.000244140625\]

Таким образом, вероятность того, что все 12 горошин будут желтыми, составляет 0.000244140625, или 0.0244140625%.

3. в) Чтобы определить вероятность того, что в выборке из 12 горошин будет хотя бы 1 желтая горошина, мы можем воспользоваться дополнением к вероятности того, что все горошины будут зелеными. Такая вероятность была вычислена в задаче 3.а и равна 0.000244140625. Таким образом, вероятность того, что будет хотя бы 1 желтая горошина, составляет:

\[P(\text{хотя бы 1 желтая горошина}) = 1 - P(\text{выборка содержит только зеленые горошины}) = 1 - 0.000244140625 = 0.999755859375\]

Таким образом, вероятность того, что в выборке из 12 горошин будет хотя бы 1 желтая горошина, составляет 0.999755859375, или 99.9755859375%.

3. г) Вероятность того, что в выборке из 12 горошин будет хотя бы 1 зеленая горошина, также равна дополнению к вероятности того, что все горошины будут желтыми. Такая вероятность была вычислена в задаче 3.б и равна 0.000244140625. Таким образом, вероятность того, что будет хотя бы 1 зеленая горошина, равна:

\[P(\text{хотя бы 1 зеленая горошина}) = 1 - P(\text{выборка содержит только желтые горошины}) = 1 - 0.000244140625 = 0.999755859375\]

Таким образом, вероятность того, что в выборке из 12 горошин будет хотя бы 1 зеленая горошина, составляет 0.999755859375, или 99.9755859375%.