1) What is the probability of a student completing their coursework on time for: a) two subjects, b) at least

Задача 1):

a) Чтобы найти вероятность того, что студент сдаст работу по двум предметам вовремя, мы должны перемножить вероятности сдачи каждого предмета отдельно.

Пусть P(A) обозначает вероятность сдачи первого предмета, P(B) - вероятность сдачи второго предмета.

Таким образом, вероятность сдачи обоих предметов будет выглядеть следующим образом:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0.6\cdot 0.5=0.3$$

Ответ: Вероятность того, что студент сдаст оба предмета вовремя, составляет 0.3 или 30%.

b) Чтобы найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы два предмета вовремя, нам нужно найти вероятность сдачи двух предметов и добавить к нему вероятность сдачи всех трех предметов.

Вероятность сдачи двух предметов можно найти, используя формулу суммы вероятностей:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

где P(A) - вероятность сдачи первого предмета, P(B) - вероятность сдачи второго предмета, P(A \cap B) - вероятность сдачи обоих предметов (рассчитанная ранее).

Таким образом, вероятность сдачи двух предметов составит:

$$P(A\cup B)=0.6+0.5-0.3=0.8$$

Ответ: Вероятность того, что студент сдаст хотя бы два предмета вовремя, составляет 0.8 или 80%.

Задача 2):

a) Чтобы найти вероятность выплаты по страховке для 10 контрактов, из которых 3 имеют страховой случай, мы можем использовать формулу Бернулли.

Формула Бернулли для нахождения вероятности появления успеха в серии независимых испытаний имеет вид:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

где P(X = k) - вероятность того, что произойдет k успехов в n испытаниях, p - вероятность появления успеха в каждом отдельном испытании, (1-p) - вероятность неуспеха в каждом отдельном испытании, и \binom{n}{k} - биномиальный коэффициент.

В данном случае, p = 0.15 - вероятность выплаты по страховке, n = 10 - общее количество контрактов, m = 3 - количество контрактов с страховым случаем.

Таким образом, вероятность появления выплаты по страховке для 10 контрактов, из которых 3 контракта имеют страховой случай, составит:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})\cdot {0.15}^3\cdot (1-0.15{)}^{10-3}$$

Расчет биномиального коэффициента производится следующим образом:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})=\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$$

Теперь можем подставить значения в формулу:

$$P(X=3)=120\cdot {0.15}^3\cdot {0.85}^7$$

Рассчитываем:

$$P(X=3)=120\cdot 0.003375\cdot 0.196531$$

Ответ: Вероятность, что из 10 контрактов, 3 контракта имеют страховой случай и будет выплата по страховке, составляет приблизительно 0.08047 или около 8.05%.

b) Аналогично, чтобы найти вероятность выплаты по страховке для 300 контрактов, из которых 80 контрактов имеют страховой случай, мы можем использовать формулу Бернулли.

По формуле Бернулли:

$$P(X=80)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{300}{80})\cdot {0.15}^{80}\cdot (1-0.15{)}^{300-80}$$

Рассчитываем биномиальный коэффициент:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{300}{80})=\frac{300!}{80!(300-80)!}=\frac{300!}{80!\cdot 220!}$$

Расчет можно произвести с использованием калькулятора или программы для работы с числами большой разрядности.

Теперь можем подставить значения в формулу:

$$P(X=80)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{300}{80})\cdot {0.15}^{80}\cdot {0.85}^{300-80}$$

Ответ: Вероятность, что из 300 контрактов, 80 контрактов имеют страховой случай и будет выплата по страховке, можно рассчитать, используя формулу Бернулли.

Задача 3):

Мы должны найти вероятность совершения покупки каждым из двух клиентов независимо друг от друга. Предположим, что P(A) - вероятность покупки первым клиентом, P(B) - вероятность покупки вторым клиентом. По условию задачи, предположим, что P(A) = 0.6 и P(B) = 0.8.

Так как покупки клиентов независимы друг от друга, мы можем найти общую вероятность совершения покупок обоими клиентами, перемножив вероятности каждой покупки:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0.6\cdot 0.8=0.48$$

Ответ: Вероятность того, что оба клиента совершат покупку, составляет 0.48 или 48%.