1. What is the mass of the block that is sliding on the table? 2. How is the coordinate of the block, x, related

1. Чтобы найти массу блока, скользящего на столе, мы можем использовать второй закон Ньютона \(F = ma\), где \(F\) - сила, действующая на блок, \(m\) - масса блока и \(a\) - ускорение блока. В данной задаче мы предполагаем, что блок скользит без трения, поэтому сила трения не учитывается. Таким образом, на блок действует только сила тяжести \(m \cdot g\), где \(g\) - ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/с\(^2\)).
Мы знаем, что ускорение блока равно производной скорости по времени \(\frac{dv}{dt}\). Данная производная представляет собой величину градиента координаты блока по отношению к времени.
Зная, что \(F = m \cdot g\), мы можем написать \(m \cdot g = \frac{dv}{dt}\), где \(v\) - скорость блока. Мы можем переписать это уравнение в виде \(\frac{dv}{dt} = g\), и теперь можем проинтегрировать это уравнение:

\[\int \frac{dv}{dt} dt = \int g dt\]
\[v = g \cdot t + C_1\]
где \(C_1\) - константа интегрирования.

2. Теперь нужно установить связь между координатой блока \(x\) и временем \(t\) на основе данной формулы. Предположим, что \(x = x(t)\). Мы знаем, что скорость \(v\) равна производной координаты по времени \(\frac{dx}{dt}\). Из предыдущего пункта мы знаем, что \(v = g \cdot t + C_1\), где \(C_1\) - константа интегрирования.

\[\frac{dx}{dt} = g \cdot t + C_1\]
Мы можем проинтегрировать это уравнение:

\[\int dx = \int (g \cdot t + C_1) dt\]
\[x = \frac{1}{2} g \cdot t^2 + C_1 \cdot t + C_2\]
где \(C_2\) - другая константа интегрирования.

3. Чтобы определить, в каком направлении выравнивается ось \(x\) с начальной скоростью блока, мы обратимся к начальным условиям задачи. Если начальная скорость блока положительна (направлена в положительном направлении оси \(x\)), то ось \(x\) выравнивается в положительном направлении. Если начальная скорость блока отрицательна (направлена в отрицательном направлении оси \(x\)), то ось \(x\) выравнивается в отрицательном направлении.
Ось \(x\) выравнивается в направлении, в котором движется блок изначально.