1) What is the length of VA if in trapezoid MVDC, the extensions of the sides MV and DC intersect at point A, and

1) Чтобы найти длину VA в трапеции MVDC, нам необходимо использовать свойство подобия треугольников и отношение длин соответствующих сторон. Для начала обратимся к треугольнику MKD, где МК = 8 см, МД = 4 см и DC — наша искомая сторона VA.

Так как MV || DC, и МА — продолжение МК, то треугольник МАК подобен треугольнику МВД по теореме о параллельных прямых. Теперь мы можем использовать отношение подобия треугольников:

\[\frac{MK}{MD} = \frac{MA}{VA}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{8}{4} = \frac{32}{VA}\]

Теперь решим уравнение относительно VA:

\[2 = \frac{32}{VA}\]

Чтобы найти VA, найдём обратное значение отношения:

\[\frac{1}{2} = \frac{VA}{32}\]

Умножим оба члена уравнения на 32:

\[VA = \frac{32}{2} = 16\]

Таким образом, длина VA равна 16 см.

2) Чтобы найти длину AV в треугольнике MOK, мы также можем использовать свойство подобия треугольников и отношение длин соответствующих сторон. Треугольник MOK и треугольник AOV подобны, поскольку AV || MK.

Отношение подобия треугольников можно записать следующим образом:

\[\frac{AM}{MK} = \frac{AO}{OV} = \frac{AV}{VK}\]

Мы знаем значения некоторых сторон треугольника MOK и треугольника AOV:

\[\frac{20}{10} = \frac{8}{9} = \frac{AV}{VK}\]

Теперь решим уравнение относительно AV:

\[2 = \frac{AV}{9}\]

Умножим оба члена уравнения на 9:

\[AV = 2 \times 9 = 18\]

Таким образом, длина AV равна 18.

3) Чтобы найти длину DK в треугольнике AVS, нам необходимо использовать теорему о параллельных прямых и подобие треугольников. Мы знаем, что AK = 8 см, VS = 30 см и VD = 9 см.

Сначала найдём длину AS. Треугольник AKS подобен треугольнику ADV из-за параллельности прямых AK и DV. Мы можем использовать отношение подобия треугольников:

\[\frac{AK}{AD} = \frac{AS}{AV}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{8}{6} = \frac{AS}{AV}\]

Решим уравнение относительно AS:

\[\frac{4}{3} = \frac{AS}{AV}\]

Умножим оба члена уравнения на AV:

\[\frac{4}{3} \times AV = AS\]

Теперь заметим, что AST и TVD также являются подобными треугольниками из-за параллельности прямых TS и VD. Мы можем использовать отношение подобия треугольников:

\[\frac{AS}{AV} = \frac{TS}{VD}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{4}{3} = \frac{TS}{9}\]

Решим уравнение относительно TS:

\[\frac{4}{3} \times 9 = TS\]

\[TS = 12\]

Теперь у нас есть длина TS, и мы можем использовать её, чтобы найти DK. Поскольку сторона DK параллельна ST, треугольники ADK и AST подобны. Мы можем использовать отношение подобия треугольников:

\[\frac{DK}{TS} = \frac{DK}{12} = \frac{AD}{AS}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{DK}{12} = \frac{6}{\frac{4}{3} \times AV}\]

Умножим оба члена уравнения на 12:

\[DK = \frac{6}{\frac{4}{3} \times AV} \times 12\]

Теперь мы можем вставить значение AV, которое мы рассчитали ранее:

\[DK = \frac{6}{\frac{4}{3} \times 18} \times 12\]

\[DK \approx 5.33\]

Таким образом, длина DK примерно равна 5.33.

4) Чтобы найти длину отсутствующей стороны в двух подобных треугольниках, единственной переменной будет отношение длин между соответственными сторонами. Пусть одна из сторон равна 8 и отношение между сторонами равно \(x\).

Так как площадь треугольника пропорциональна квадратам соответствующих сторон, мы можем записать уравнение:

\[\frac{8^2}{x^2} = \frac{64}{81}\]

Упростим уравнение:

\[\frac{64}{x^2} = \frac{64}{81}\]

Перемножим оба члена на \(x^2\):

\[64 = \frac{64}{81} \times x^2\]

Теперь решим уравнение относительно \(x^2\):

\[x^2 = \frac{64}{\frac{64}{81} }\]

\[x^2 = \frac{81}{1}\]

\[x = \sqrt{\frac{81}{1}}\]

\[x = 9\]

Таким образом, отношение длин между соответствующими сторонами равно 9. Чтобы найти длину отсутствующей стороны, умножим отношение на известную сторону длиной 8:

Длина отсутствующей стороны = \(9 \times 8 = 72\)

Таким образом, длина отсутствующей стороны равна 72.