1) What is the equation of the circle obtained by rotating the circle given by the equation (x-4)²+(y-2)²=25

Для решения этой задачи нам необходимо выполнить поворот исходного круга на 90° против часовой стрелки относительно точки A (3;1) и найти уравнение нового круга.

Шаг 1: Определение координат нового центра круга
Поскольку мы проводим поворот на 90° против часовой стрелки, новый центр круга будет расположен на прямой, перпендикулярной изначальной прямой, проходящей через точку A (3;1). Эта прямая будет проходить через центр изначального круга.

Шаг 2: Нахождение расстояния между изначальным центром круга и новым центром
Найдем расстояние между изначальным центром круга и точкой A (3;1) с использованием формулы расстояния между двумя точками:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}\]

где (x₁, y₁) - координаты изначального центра круга, (x₂, y₂) - координаты точки A (3;1).

Расчет:
\[d = \sqrt{(4 - 3)^{2} + (2 - 1)^{2}} = \sqrt{(1)^{2} + (1)^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\]

Шаг 3: Нахождение новых координат центра круга
Поскольку новый центр круга будет смещен на расстояние \(\sqrt{2}\) единиц вдоль линии, перпендикулярной изначальной прямой, проходящей через точку A (3;1), мы можем определить новые координаты центра путем вычитания текущего расстояния \(\sqrt{2}\) из соответствующих координат изначального центра.

Значит, новые координаты центра круга будут: (4 - \(\sqrt{2}\); 2 - \(\sqrt{2}\)).

Шаг 4: Нахождение уравнения нового круга
Так как радиус круга не изменяется при повороте, он будет таким же, как и у изначального круга. В нашем случае, радиус круга равен 5 (поскольку (x-4)² + (y-2)² = 25).

Учитывая новые координаты центра и радиус, мы можем записать уравнение нового круга:
\((x - (4 - \sqrt{2}))^{2} + (y - (2 - \sqrt{2}))^{2} = 25\)

Итак, уравнение круга, полученного в результате поворота исходного круга на 90° против часовой стрелки относительно точки A (3;1), будет \((x - (4 - \sqrt{2}))^{2} + (y - (2 - \sqrt{2}))^{2} = 25\).