1. What are the first six terms of the sequence (hn) given h1=1/32 and hn+1=4hn+1? 2. Find x1, x7, and x15

Задача 1:

Дана последовательность (hn) с условием h1=1/32 и hn+1=4hn+1.

Для решения задачи, мы можем использовать рекуррентную формулу, которая позволяет нам вычислить следующий член последовательности на основе предыдущего.

Шаг 1: Вычисляем h2, используя данный нам первый член последовательности h1:
h2 = 4h1 + 1
h2 = 4 * (1/32) + 1
h2 = 1/8 + 1
h2 = 1/8 + 8/8
h2 = 9/8

Шаг 2: Вычисляем h3, используя полученный нами второй член последовательности h2:
h3 = 4h2 + 1
h3 = 4 * (9/8) + 1
h3 = 36/8 + 8/8
h3 = 44/8
h3 = 11/2

Шаг 3: Повторяем процесс, чтобы найти остальные члены последовательности:

h4 = 4h3 + 1
h4 = 4 * (11/2) + 1
h4 = 44/2 + 1
h4 = 22 + 1
h4 = 23

h5 = 4h4 + 1
h5 = 4 * 23 + 1
h5 = 92 + 1
h5 = 93

h6 = 4h5 + 1
h6 = 4 * 93 + 1
h6 = 372 + 1
h6 = 373

Таким образом, первые шесть членов последовательности (hn) равны: 1/32, 9/8, 11/2, 23, 93 и 373.

Задача 2:

Дана последовательность (xn) с условием xn=2n²-4n.

Чтобы найти x1, x7 и x15, нам нужно просто подставить соответствующие значения n в выражение для xn.

x1 = 2 * 1² - 4 * 1
x1 = 2 - 4
x1 = -2

x7 = 2 * 7² - 4 * 7
x7 = 2 * 49 - 4 * 7
x7 = 98 - 28
x7 = 70

x15 = 2 * 15² - 4 * 15
x15 = 2 * 225 - 4 * 15
x15 = 450 - 60
x15 = 390

Таким образом, x1 = -2, x7 = 70 и x15 = 390.

Задача 3:

Дана последовательность (bn) с условием bn=31-5n.

Чтобы узнать, является ли -127 членом последовательности, мы должны проверить, выполняется ли это значение при подстановке n в выражение для bn.

-127 = 31 - 5n

Переносим -5n на другую сторону уравнения:

5n = 31 + 127
5n = 158

Решим уравнение:

n = 158 / 5
n = 31.6

Так как n не является целым числом, -127 не является членом последовательности (bn).

Задача 4:

Дана последовательность (pn) с условием pn=9n-109.

Чтобы найти количество отрицательных членов последовательности, мы можем посмотреть, при каких значениях n выражение pn отрицательно.

Устанавливаем pn меньше нуля и решаем неравенство:

9n - 109 < 0

Добавляем 109 к обеим сторонам:

9n < 109

Делим на 9:

n < 12.11

Таким образом, количество отрицательных членов последовательности (pn) - это количество целых чисел меньше 12.11. Поскольку n является целым числом, количество отрицательных членов равно 12.

Ответ:
1. Первые шесть членов последовательности (hn): 1/32, 9/8, 11/2, 23, 93 и 373.
2. x1 = -2, x7 = 70 и x15 = 390.
3. -127 не является членом последовательности (bn).
4. В последовательности (pn) есть 12 отрицательных членов.