1. Вычислить смешанное произведение трех векторов: a, -2b, -7c. 2. Найти модуль векторного произведения: 4b

Конечно, я помогу тебе с этими задачами по векторам! Давай решим каждую задачу по порядку.

1. Вычислить смешанное произведение трех векторов: \(a\), \(-2b\), \(-7c\).

Смешанное произведение трех векторов можно рассчитать по следующей формуле:

\[
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}
\]

У нас даны векторы \(a\), \(-2b\) и \(-7c\), поэтому подставим их в формулу:

\[
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} \times (\mathbf{-2b})) \cdot \mathbf{-7c}
\]

Теперь давайте посчитаем каждую часть отдельно. Начнем с расчета векторного произведения \(\mathbf{a} \times (\mathbf{-2b})\):

\[
\mathbf{a} \times (\mathbf{-2b})
\]

Так как векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) можно вычислить как:

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
\]

где \(a_1, a_2, a_3\) и \(b_1, b_2, b_3\) - это компоненты векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) соответственно, получаем:

\[
\mathbf{a} \times (\mathbf{-2b}) = (a_2(-2b_3) - a_3(-2b_2), a_3(-2b_1) - a_1(-2b_3), a_1(-2b_2) - a_2(-2b_1))
\]

Как результат, у нас получается вектор:

\[
(\mathbf{a} \times (\mathbf{-2b})) = (2a_2b_3 - 2a_3b_2, -2a_3b_1 + 2a_1b_3, -2a_1b_2 + 2a_2b_1)
\]

Теперь, чтобы вычислить смешанное произведение, нужно умножить полученный вектор на вектор \(\mathbf{-7c}\):

\[
(\mathbf{a} \times (\mathbf{-2b})) \cdot \mathbf{-7c} = (2a_2b_3 - 2a_3b_2, -2a_3b_1 + 2a_1b_3, -2a_1b_2 + 2a_2b_1) \cdot \mathbf{-7c}
\]

Далее проводим умножение:

\[
(2a_2b_3 - 2a_3b_2, -2a_3b_1 + 2a_1b_3, -2a_1b_2 + 2a_2b_1) \cdot \mathbf{-7c} = -7(2a_2b_3 - 2a_3b_2)c_1 - 7(-2a_3b_1 + 2a_1b_3)c_2 - 7(-2a_1b_2 + 2a_2b_1)c_3
\]

где \(c_1, c_2, c_3\) - компоненты вектора \(\mathbf{c}\).

Теперь можем продолжить вычисления:

\[
-7(2a_2b_3 - 2a_3b_2)c_1 - 7(-2a_3b_1 + 2a_1b_3)c_2 - 7(-2a_1b_2 + 2a_2b_1)c_3
\]

Данный результат является смешанным произведением заданных векторов.

2. Найти модуль векторного произведения: \(4b\), \(3c\).

Модуль векторного произведения двух векторов вычисляется по следующей формуле:

\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})}
\]

У нас даны векторы \(4b\) и \(3c\), подставим их в формулу:

\[
|\mathbf{4b} \times \mathbf{3c}| = \sqrt{(\mathbf{4b} \times \mathbf{3c}) \cdot (\mathbf{4b} \times \mathbf{3c})}
\]

Теперь вычислим векторное произведение \(\mathbf{4b} \times \mathbf{3c}\):

\[
\mathbf{4b} \times \mathbf{3c}
\]

Векторное произведение можно вычислить аналогично предыдущей задаче, используя формулу:

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
\]

Подставим векторы в формулу и выполним вычисления:

\[
\mathbf{4b} \times \mathbf{3c} = (4b_2(3c_3) - 4b_3(3c_2), 4b_3(3c_1) - 4b_1(3c_3), 4b_1(3c_2) - 4b_2(3c_1))
\]

Результатом будет вектор:

\[
(\mathbf{4b} \times \mathbf{3c}) = (12b_2c_3 - 12b_3c_2, 12b_3c_1 - 12b_1c_3, 12b_1c_2 - 12b_2c_1)
\]

Теперь мы можем продолжить вычисления модуля векторного произведения:

\[
\sqrt{(\mathbf{4b} \times \mathbf{3c}) \cdot (\mathbf{4b} \times \mathbf{3c})}
\]

Подставим значение вектора и вычислим:

\[
\sqrt{(12b_2c_3 - 12b_3c_2)^2 + (12b_3c_1 - 12b_1c_3)^2 + (12b_1c_2 - 12b_2c_1)^2}
\]

Это и будет модуль векторного произведения заданных векторов.

3. Вычислить скалярное произведение двух векторов: \(2a\), \(-7c\).

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить по следующей формуле:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
\]

У нас даны векторы \(2a\) и \(-7c\), поэтому подставим их в формулу:

\[
\mathbf{2a} \cdot \mathbf{-7c} = (2a_1)(-7c_1) + (2a_2)(-7c_2) + (2a_3)(-7c_3)
\]

Теперь произведем вычисления:

\[
(2a_1)(-7c_1) + (2a_2)(-7c_2) + (2a_3)(-7c_3)
\]

Это и будет скалярное произведение заданных векторов.

4. Проверить, будут ли два вектора \(b\) и \(c\) коллинеарными или ортогональными.

Два вектора \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) будут коллинеарными, если их векторное произведение равно нулю и модуль их скалярного произведения равен произведению их модулей.

Два вектора \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) будут ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Давай проверим условия:

- Для коллинеарности:
- Проверим, что \((\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{0}\)
- Проверим, что \(|\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}| = |\mathbf{b}||\mathbf{c}|\)

- Для ортогональности:
- Проверим, что \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 0\)

5. Проверить, будут ли три вектора \(a\), \(b\) и \(c\) компланарными.

Три вектора \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) будут компланарными, если их смешанное произведение равно нулю.

Давай проверим условие:

- Проверим, что \((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = 0\)

Таким образом, мы можем вычислить смешанное произведение, модуль векторного произведения и скалярное произведение векторов, а также определить, являются ли векторы коллинеарными, ортогональными или компланарными.