1) Возможно существование треугольника, у которого сумма внешнего угла и внутреннего угла, смежного с ним, равна

Конечно! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:

1) Для начала, давайте определим, что такое внешний угол треугольника. Внешний угол треугольника - это угол, образованный продолжением одной из его сторон и продолжением соседней стороны треугольника.

Сумма внутреннего угла и соответствующего ему внешнего угла всегда равна 180 градусов. Давайте докажем это:

Пусть у нас есть треугольник ABC с внутренним углом A и внешним углом D, смежными друг другу.

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов, поэтому:

\(\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ\)

Теперь рассмотрим внешний угол D. По определению, это угол, образованный продолжением стороны BC и продолжением стороны AC. Таким образом, можем записать:

\(\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC + \angle D = 180^\circ\)

Но мы знаем, что \(\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ\), поэтому:

\(180^\circ + \angle D = 180^\circ\)

Вычитаем из обеих частей уравнения \(180^\circ\):

\(\angle D = 0^\circ\)

Таким образом, получается, что внешний угол D равен 0 градусов.

Сумма внутреннего угла и внешнего угла, смежного с ним, будет равна:

\(\angle ABC + \angle BCA = 180^\circ\)

2) Теперь рассмотрим задачу о пересечении двух прямых. Если при пересечении двух данных прямых внутренние накрест лежащие углы равны, то данные прямые имеют общую точку пересечения.

Для начала, мы должны определить, что такое внутренние накрест лежащие углы. Внутренние накрест лежащие углы это углы, расположенные по разные стороны от пересекающей прямой и между пересекаемыми прямыми.

Допустим, у нас есть две прямые AB и CD, которые пересекаются в точке O. Мы также имеем два угла, \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\), являющиеся внутренними накрест лежащими углами.

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то мы можем заключить, что у нас есть общая точка пересечения прямых AB и CD.

3) И наконец, рассмотрим третью задачу о центре окружности, вписанной в треугольник. Чтобы понять эту задачу, сначала давайте разберемся, что значит "центр вписанной окружности".

Центр вписанной окружности - это центр окружности, которая касается всех сторон треугольника внутренним образом.

Теперь, чтобы найти центр вписанной окружности, мы проводим серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

Серединный перпендикуляр - это прямая, проходящая через середину стороны треугольника и перпендикулярная этой стороне.

Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром вписанной окружности. Это свойство обусловлено тем, что такая окружность будет касаться каждой стороны треугольника внутренним образом, а значит, будет иметь общую точку пересечения с треугольником.