1. В ящике есть 12 деталей, из которых 7 окрашены. Если случайно выбрать 4 детали, какова вероятность, что окрашены

Задача 1:

Для нахождения вероятностей в данной задаче мы будем использовать комбинаторику и применять формулу для вычисления вероятности события.

а) Сначала рассмотрим случай, когда ровно 3 детали окрашены.

Для этого нам нужно выбрать 3 из 7 окрашенных деталей и 1 из 5 неокрашенных деталей. Таким образом, количество возможных комбинаций будет равно:

\(\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{1}\)

Где \(\binom{n}{k}\) - это сочетание из n элементов по k элементов.

Теперь мы можем найти вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество исходов:

Вероятность окрашенных ровно 3 деталей:

\(P(\text{ровно 3 окрашенные детали}) = \frac{\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{1}}{\binom{12}{4}}\)

б) Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одна деталь окрашена.

Для этого мы должны учесть три ситуации: все 4 детали окрашены, 3 детали окрашены, 2 детали окрашены.

Вероятность, что все 4 детали окрашены, равна:

\(P(\text{все 4 окрашены}) = \frac{\binom{7}{4} \cdot \binom{5}{0}}{\binom{12}{4}}\)

Вероятность, что 3 детали окрашены, была уже найдена в пункте а) и равна:

\(P(\text{ровно 3 окрашенные детали})\)

Для нахождения вероятности, что 2 детали окрашены, мы должны выбрать 2 из 7 окрашенных деталей и 2 из 5 неокрашенных деталей. Таким образом, количество благоприятных исходов будет равно:

\(\binom{7}{2} \cdot \binom{5}{2}\)

Вероятность, что 2 детали окрашены:

\(P(\text{ровно 2 окрашенные детали}) = \frac{\binom{7}{2} \cdot \binom{5}{2}}{\binom{12}{4}}\)

Теперь мы можем найти вероятность хотя бы одной окрашенной детали, сложив вероятности всех трех случаев:

\(P(\text{хотя бы одна окрашенная деталь}) = P(\text{все 4 окрашены}) + P(\text{ровно 3 окрашенные детали}) + P(\text{ровно 2 окрашенные детали})\)


Задача 2:

а) Для нахождения вероятности "все три попадания" необходимо перемножить вероятности каждого отдельного выстрела:

\(P(\text{все три попадания}) = p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)\)

Подставим значения:

\(P(\text{все три попадания}) = 0.1 \cdot 0.4 \cdot 0.2\)

б) Для нахождения вероятности "менее двух попаданий" можно посчитать вероятность обратного события и вычесть ее из 1.

Обратное событие - это "два или три попадания". То есть, мы должны посчитать вероятность получить 2 попадания и вероятность получить все 3 попадания, а затем сложить эти вероятности.

Вероятность "два попадания" можно найти, перемножив вероятности двух попаданий и одного промаха:

\(P(\text{два попадания}) = p(A) \cdot p(B) \cdot (1-p(C))\)

Вероятность "три попадания" мы уже нашли в пункте а).

Теперь мы можем найти вероятность "менее двух попаданий", вычитая вероятность "два или три попадания" из 1:

\(P(\text{менее двух попаданий}) = 1 - (P(\text{два попадания}) + P(\text{все три попадания}))\)

Подставим значения и вычислим результат.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам освоить эти задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.