Каковы вероятности следующих событий? a) В случайно составленном слове из шести букв и цифр, буквы и цифры чередуются

Хорошо, давайте посмотрим на задачу и рассмотрим каждую ее часть.
а) Вероятность того, что в случайно составленном слове из шести букв и цифр, буквы и цифры будут чередоваться.

Для начала посчитаем количество способов выбора позиций для цифр и букв в слове. В данном случае у нас 3 позиции для цифр и 3 позиции для букв. Всего возможных вариантов выбора позиций для цифр будет равно количеству сочетаний без повторений из 6 по 3, а для букв - также количеству сочетаний без повторений из 6 по 3.
\[C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = 20\]
Таким образом, есть 20 способов выбора позиций для цифр и 20 способов выбора позиций для букв.

Теперь рассмотрим количество способов заполнить выбранные позиции цифрами и буквами.
У нас есть 10 возможных цифр (от 0 до 9) и 26 возможных букв (английский алфавит).
Так как цифры и буквы должны чередоваться, выбор цифр и букв для первой позиции определит выбор цифры или буквы для второй позиции, и так далее.

Для первой позиции у нас есть 10 возможных цифр и 26 возможных букв, так как мы можем выбрать любую из них.
Для второй позиции у нас осталось 9 возможных цифр и 25 возможных букв, так как мы должны выбрать другой тип символа, чем на первой позиции.
То же самое продолжается для оставшихся позиций: на третьей позиции у нас осталось 10-2=8 возможных цифр и 26-2=24 возможные буквы, на четвертой позиции - 9-2=7 возможных цифр и 25-2=23 возможные буквы, на пятой позиции - 8-2=6 возможных цифр и 24-2=22 возможные буквы, на шестой позиции - 7-2=5 возможных цифр и 23-2=21 возможные буквы.

Теперь мы можем посчитать общее количество способов составить такое слово, где буквы и цифры чередуются, умножив количество способов выбора позиций на количество способов заполнить выбранные позиции.

\[20 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 = 458,041,600\]

Таким образом, общее количество возможных слов, где буквы и цифры чередуются в случайно составленном слове из шести букв и цифр, равно 458,041,600.

b) Вероятность того, что в пятибуквенном слове содержится одна цифра 1 и четыре буквы, причем буквы расположены в алфавитном порядке.

Для начала, рассмотрим количество способов выбрать позицию для цифры 1 в пятибуквенном слове. У нас есть 5 возможных позиций для цифры 1.

Затем, рассмотрим количество способов заполнить оставшиеся позиции буквами в алфавитном порядке. Так как буквы должны быть расположены в алфавитном порядке, у нас есть только 1 способ заполнить выбранные позиции.

Таким образом, общее количество возможных слов, где содержится одна цифра 1 и четыре буквы, причем буквы расположены в алфавитном порядке, равно:

\[5 \cdot 1 = 5\]

Таким образом, общая вероятность такого события равна \(\frac{5}{458041600}\).