1) В треугольнике АВС угол А равен 60°, сторона АС равна 6 см, а сторона АВ равна 4 см. С помощью теоремы косинусов

Давайте решим поставленные задачи с помощью теоремы косинусов.

1) В треугольнике АВС угол А равен 60°, сторона АС равна 6 см, а сторона АВ равна 4 см. Нам нужно найти длину стороны ВС.

Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника с сторонами a, b и c, и углом C противоположным стороне c, выполняется следующее равенство:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Мы знаем, что сторона АС равна 6 см, сторона АВ равна 4 см, и угол А равен 60°. Подставляя данные в формулу, получаем:

\[BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(60°)\]

Для вычисления косинуса угла 60° в радианах, мы используем следующую формулу:

\(\cos(60°) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)

Подставляя это значение, мы получаем:

\[BC^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 36 - 24 = 28\]

Теперь найдём длину стороны ВС, извлекая квадратный корень обеих сторон:

\[BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.29\] см

Таким образом, длина стороны ВС примерно равна 5.29 см.

2) В треугольнике АВС длина стороны ВС равна 2√17, длина стороны АВ равна 7√3 см, а длина стороны АС равна 5 см. Нам нужно найти меру угла C.

Согласно теореме косинусов, мы используем следующую формулу:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Мы знаем, что сторона ВС равна 2√17, сторона АВ равна 7√3 см, и сторона АС равна 5 см. Подставляя значения в формулу, получаем:

\[4 \cdot 17 = (7\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos(C)\]

\[68 = 49 \cdot 3 + 25 - 70\sqrt{3} \cdot \cos(C)\]

\[68 = 147 + 25 - 70\sqrt{3} \cdot \cos(C)\]

Теперь, разделим уравнение на -70\(\sqrt{3}\):

\[\frac{68 - 147 - 25}{-70\sqrt{3}} = \cos(C)\]

\[\frac{-104}{-70\sqrt{3}} = \cos(C)\]

\[cos(C) \approx 0.333\]

Чтобы найти меру угла C, мы используем обратный косинус (арккосинус) этого значения:

\[C \approx \arccos(0.333)\]

\[C \approx 1.23 \text{ радиана}\]

Для перевода в градусы, мы умножаем радианную меру на \(\frac{180}{\pi}\):

\[C \approx 1.23 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 70.5^\circ\]

Таким образом, мера угла C примерно равна 70.5 градусов.